细胞存活曲线的推导王大奖

学号：2013202020061姓名：王大奖细胞存活曲线的推导

主要内容一、电离辐射的细胞效应与细胞存活二、细胞存活曲线的数学基础

1靶学说2击中概率和泊松分布二项分布泊松分布三、基于靶学说的几种细胞存活曲线模型的推导1单靶单击模型S=e-D/D02多靶单击模型S=1–(1–e-D/D0)N

3

二次线性平方（L-Q）模型S=e–(αD+βD2)

四、关于L-Q模型的思考及其他几种模型1、l-q模型的局限性分析2、IR模型3、L-Q模型的数学推导过程及其向高剂量段扩展一、细胞存活曲线的数学基础1靶学说①生物结构内存在对放射敏感的部分，称之为“靶”，其损伤将引发某种生物效应；②射线与生物系统的相互作用是一种随机过程，“击中”是彼此无关的独立事件，击中概率服从泊松分布③单次或多次击中靶区可产生某种放射生物效应，如生物大分子失活或断裂等。

电离辐射的细胞效应辐射诱导的DNA损伤及修复研究显示：DNA是引起一系列生物学效应的关键靶。DNA链断裂的主要形式单链断裂双链断裂插图

电离辐射的细胞效应DNA链断裂的修复DNA单链断裂的修复以对侧链为模板，是一种可完全修复的分子损伤DNA双链断裂的修复可修复的双链断裂（彼此分开间隔一段距离）不可修复的双链断裂（发生在对侧互补碱基或仅间隔几个碱基对--染色体折成两段）

电离辐射的细胞效应辐射所致的细胞死亡.两种主要形式分裂间期死亡（细胞在进行下一次分裂前死亡）有丝分裂死亡

(增殖性死亡）指由于染色体的损伤，细胞在试图分裂时发生死亡。死亡可发生在照射后的第一次或以后的几次分裂。是电离辐射引起细胞死亡的最常见形式，

电离辐射的细胞效应放射生物对细胞死亡的基本认识：一般意义的细胞死亡（celldeath)，细胞再繁殖完整性的丢失(lossofreproductiveintegrityoftumorcells)即是永久性克隆功能丢失两者在概念上存在着根本意义上的不同，放射可治愈性结局的最主要依据是后者。放射治疗对受照射后的存活细胞更加关注，因这对放射可治愈性非常重要细胞存活曲线描述放射线照射剂量和细胞存活比之间的关系，关注的是：一定剂量照射以后对克隆源细胞而不是细胞群任意细胞的杀灭电离辐射的细胞效应电离辐射的细胞效应细胞存活曲线放射生物学规定：鉴别“细胞存活”的唯一标准是照射后细胞是否保持再繁殖的完整性，即所分析的是克隆源细胞的增殖活性而不是受照射群体中任意细胞的功能活性MTT法、染料除外等方法均不被认可电离辐射的细胞效应细胞存活曲线克隆源细胞（clonogeniccell)指具有生成“克隆”能力的原始存活细胞。在离体培养细胞：这种无限增殖能力体现为形成一个完整的50个细胞的克隆在体内：体现为肿瘤体积的不断增大、复发、转移在这个“细胞存活”的严格定义下，提示临床必须重视这种存活细胞，这种具有无限增殖能力的细胞是在治疗中必须根除的细胞电离辐射的细胞效应细胞存活曲线细胞形成克隆的能力被称为“细胞存活”辐射所致的细胞杀灭是指数性的，指数关系的特点：增加一定剂量就有一定比例的细胞而不是数量的细胞被杀死2击中概率及泊松分布细胞存活曲线的数学基础（1）二项分布研究n重伯努利试验中A出现k次（k=0，1，…n）的概率由于n次试验有k次A出现，共有种不同的事件，可得：此式为随机变量X的概率分布函数，又因为为二项展开式（p+（1-p））n的一般项，故称为二项分布上式的分布就为参数n，p的二项分布，记为B（n，p）二项分布的平均数：E(X)=np细胞存活曲线的数学基础二项分布的公式在n→∞，p→0时就可进行如下推导：引入参数λ，λ=np（2）泊松分布

设随机变量所有可能取的值为0、1、2……,而取各个值的概率为

则称X服从参数为的泊松分布，记为式中：P{X=k}为出现某事件例数为k的理论概率。表示单位时间或空间内某事件平均发生的次数，实际应用时，可以用样本均数作为总体均数λ的估计值。

泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内星球的个数，根底上单位面积内杂草的树木等。泊松分布引入参数，=np二项分布的公式在n很大，p很小时就可进行如下推导：泊松分布

参数较小时，泊松分布是偏态的；参数增大，分布逐渐对称。当参数无限大时，泊松分布趋于正态分布。伯努利实验二项分布泊松分布（只有两个可能结果A和非A）

正态分布

≧20n较大，p和q都不太小n很大p很小二项分布、泊松分布及正态分布的关系n重实验各种模型细胞存活曲线的推导每次射击击中概率为p,射击次数为n，平均每靶被击中一次的剂量为，总剂量为D，则np=D/D0根据Poisson分布，λ=np=D/D0靶子遭受k次击中的概率为:单靶单击模型从生物学上考虑，若靶的失活只需1次击中就可发生，则靶存活的概率即个体的存活概率S就是靶击中数为0(k＝0)的概率:这就是靶学说最基本的数学表达式。它表示生物大分子或病毒的未失活部分随辐射剂量的升高呈指数下降,称为指数存活方程或单靶一次击中存活方程。上式两边取对数，得到是个一次方程，反映到图像上是条直线单靶单击模型细胞存活曲线单靶单击模型存活曲线中仅有一个参数D0，D0表示图中直线部分的斜率K的倒数(D0＝1/k)，它代表这一细胞群的放射敏感性、即照射后余37％细胞所需的放射线剂量。D0值越小，即杀灭63％细胞所需的剂量就越小，曲线下降迅速(斜率大)。D0为每靶平均受到一次打击时的剂量，单靶单击模型中也称为平均致死剂量,不同的细胞，值不一样，但人类肿瘤大概都为100-160cGy。D/D0则表示每靶的平均击中数，与np的意义相当。当剂量D=D0时，细胞存活分数S=exp（-1）=37%D。值2简单的多靶单击模型假设：•每个细胞包含N个相同的靶•每个靶在单次带电粒子穿越(单击)时，会失活。•靶的失活是一次亚致死事件。•必须所有N个靶都失活才能杀死细胞。•对于剂量D0，平均每个特定靶被击中一次。

e-D/D0则n个靶中任一靶被击中的概率是1-e-D/D0,即P(某特定靶点失活)=1-e-D/D0N个靶子全部被击中的概率为

(1-e-D/D0)N

即P(所有N个靶点失活)=未被全部击中的概率即存活概率：S=P(存活)=1-

上式称为多靶单击方程将多靶单击方程展开，如下：在高剂量时，以后的项可以忽略，得到是一条对D的直线多靶单击模型细胞存活曲线细胞存活曲线的参数D0值：细胞的平均致死剂量（meanlethaldose）为直线范围内使存活率下降63％(即降至原存活率的37％)所需剂量。由纵坐标0.1和0.037各作与横坐标相平行的线与存活曲线直线部分相交，两个相交点在横坐标上投影的两个剂量点之差即为D0值，此图中为1.0Gy。D0愈小，斜率愈大D0值大小代表细胞放射敏感性的高低N值代表细胞内靶的个数或所需击中靶的次数将直线部分外推与纵坐标相交点的数值即为外推n值（extrapolationnumber)多为1～3Dq值准阈剂量（quasithreshoulddose）由纵坐标1.0处作一条与横坐标的平行线，与外推线的交点在横坐标上投影点的数值即为Dq。一个阈值剂量意味着小于这一剂量将没有效应，但在射线的作用中没有无效应的剂量，因此，称之为准阈剂量。它表明细胞亚致死损伤修复能力的大小。Dq值小，表明细胞亚致死损伤修复能力小，很小剂量便使细胞进入致死损伤的指数存活曲线部分。多在0.5～2.5Gy分子模型提出者认为，DNA分子的双链性质意味着在理论上这种分子可以有两种方式被辐射作用完全打断：可以由于一个电离粒子的通过，在靠近DNA双链处造成两个同时发生的能量沉积事件而断裂，这种作用方式生成的DNA双链断裂（DSBs）数直接与吸收剂量D成正比:N=αD；可以由两个电离粒子独立地在DNA双链上产生两个位置很靠近的能量沉积事件而形成，这时双链断裂数与剂量的平方成正比：N=βD2。两个SSBs

于是一个细胞发生DNA双链断裂的平均数为:N=αD+βD2

线性二次L-Q模型前面的论述表明:辐射后细胞的存活分数（S）与平均DNA双链断裂数（N）成指数性反比关系：Se-N辐射剂量与存活分数的关系为：S=e-(αD+βD2)式中α和β的单位分别是1／Gy和1／Gy2，D为辐射剂量。N分次照射中，方程可写为S=e-N(αD+βD2)公式两边取对数-lnＳ＝N(α

D+βD2)；-lnS代表放射线的生物效应，为简便用Ｅ表示，则：Ｅ＝N(αD+βD２)；Ｅ/α＝ND(１+D/(α/β))Ｅ/α被称为生物效应剂量(BED)，可以用来权衡不同时间－剂量分次模型的效应显然系数因子的单位为，的单位为，上式子成立的前提是各分次造成的生物效应相同，即E1=E2....=En,那么S总=[e-(αD+βD2)]NL-Q模型细胞存活曲线只考虑双链断裂，即细胞死亡，不考虑单链断裂介于两种极端情况之间E1=αD和E2=βD2初始斜率不为0没有量化参数D0DqN等，仅为α，β所描述,此参数α/β表示引起细胞杀伤中单击和多击成分相等时的剂量（非比值）。该值与早反应组织和晚反应组织有关，对不同的组织该值是不同的.L–Q曲线特征x=0:.1:30;s=ones;s=exp(-.1.*x-0.01.*x.^2);s1=exp(-.1.*x);s2=exp(-.01.*x.^2)semilogy(x,s,'.-r')holdonsemilogy(x,s1,'-g')holdonsemilogy(x,s2,'-b')holdoff生物学涵义：当D=α/β时

E1=αD=α(α/β)=α2/βE2=βD2=β(α/β)2=α2/βE1=E2

当D<α/β或低LET

生物效应主导为E=αD

当D>α/β或高LET生物效应主导为E=βD2

晚反应组织损伤更多为βD2，显然α/β值较小α/β的含义数学涵义：n次照射d分割量的L-Q表达式

S=e–n(αd+βd2)

E=αnd+βnd2D=nd代入E=αD+βDd

同除以ED1/D=(α/E)+(β/E)d

总剂量的倒数为分次量d的一次线性函数

早反应组织指机体内那些分裂增殖活跃并对放射线早期反应比较强烈的组织。如上皮、粘膜、骨髓等，肿瘤属于早反应组织，早反应组织的α／β值比较大，在10GY左右。如皮肤9.4；小肠7.1；脾8.9；结肠8.4；

晚反应组织指机体内那些无再增殖能力，损伤后仅以修复代偿其正常功能的组织。如脊髓、肾、肺、肝等。其α／β值比较小，在3GY以下。如脊髓2.5；肾（小白鼠）1.8；肺3.6；眼1.2；根据多次的实验总结，可以得到α/β值。在照射后数天至数周内出现损伤的早期反应组织，其α/β至一般在7~20Gy;而在照射后数月至数年出现放射性损伤的晚期反应组织中，其α/β值一般在0.5~6Gy。重要的是，得认识到α/β值不是常数，特定的组织有特定的α/β值，一定要认真选择。早反应组织晚反应组织人体正常组织和肿瘤的α/β值组织或器官损伤α/β值（Gy)

早期反应组织皮肤红斑8.8~12.3皮肤剥脱11.2口腔粘膜粘膜炎8~15

晚期反应组织皮肤/血管毛细血管扩张2.6~2.8皮下组织纤维化1.7肌肉/血管/软骨肩部运动障碍3.5人体正常组织和肿瘤的α/β值组织或器官损伤α/β值（Gy)

神经臂丛神经损伤<3.5臂丛神经损伤~2视神经损伤1.6脊髓脊髓损伤<3.3眼角膜损伤2.9肠狭窄，穿孔3.9肺肺炎3.3纤维化(放射性）3.1头颈各种晚期反应3.5~3.8口腔,口咽各种晚期反应0.8人体正常组织和肿瘤的α/β值组织或器官损伤α/β值（Gy)肿瘤

头颈部喉14.5声带~13口咽~16颊粘膜6.6扁桃体7.2鼻咽16

皮肤

8.5黑色素瘤0.6脂肪肉瘤0.4α/β值的测定方法直接法:编写软件处理原始实验数据，得到精确度很高的α/β值等效公式法：可以两个生物等效方案中推算出α/β值：

式中，d为分次剂量，D为总剂量，N为分次数，D=NdE=-ln(S)α/β的应用

--放射治疗方案之间时间剂量因子的变换公式n1(αd1+βd12)=n2(αd2+βd22)即n1[（α/β）d1+d12]=n2[（α/β）d2+d22]d确定求n的变换值

n2=n1(d1/d2)[(α/β+d1)/(α/β+d2)]n确定求d的变换值d2=d1(n1/n2)[(α/β+d1)/(α/β+d2)]亦可D1/D2=(α/β+d2)/(α/β+d1)方案变换选择的一般性原则

1.d<1.8~2Gy有利于晚反应组织防护2.日分次照射总量<4.8~5Gy3.分割剂量时间间隔>6hr4.两周照射剂量<55Gy5.延长OTT（总治疗时间）以减轻急性反应时可能导致肿瘤局部控制率下降；6.D不变，延长OTT对减轻晚期损伤无收益；7.进退维谷时，宁可急性反应稍重，而应避免严重晚期损伤L-Q模型的局限性现有的α／β多数是离体细胞或动物实验（集落生成实验）中所得出的数据，与临床有一定的差距。

建模时没有考虑修复，但实际上组织是有修复的。临床的肿瘤治疗中，肿瘤和早反应组织至少能产生一次再增殖(一般在放疗后2周后开始)，故应充分考虑因组织再增殖而额外增加的剂量，但L-Q模型没有予以考虑。总之,α∕β值及其数学模式是为了更实际地反映放射过程中发生在肿瘤及正常组织内的变化，以数字模式定量化，但要注意，根据公式获得的各种数据不是实际照射剂量，故在实际工作中仅作为参考，而不能作为吸收剂量照搬套用。IR模型提出背景

建模时没有考虑修复，但实际上组织是有修复的。这个模型中的参数只与细胞本身的特性有关，反映不出照射条件(照射次数，剂量率)、细胞修复能力的影响。当治疗的时间间隔变小，剂量率较低，此时产生相同生物效应的总剂量会减小很多，这一现象就叫做不完全修复。IR模型L-Q模型S=exp[一(αD十βD2)中的α项反映单个粒子径迹引起的损伤，而β项(即平方项)反映了两个独立的径迹引起的两个亚损伤相互作用产生的损伤，两个亚损伤之间的时间间隔(取决于剂量率)和第二个亚损伤出现之前对第一个亚损伤的修复(取决于修复能力)均会影响细胞的最终的存活率。因此β项实际上将受到细胞修复能力和剂量率的影响，但是这个模型中的参数α、β只与细胞本身的特性有关，反映不出照射条件(照射次数，剂量率)、细胞修复能力的影响。IR模型可解决上述问题。IR模型IR模型的表达式为：

S(D,t)=exp{-αD+βg(μt)D2}其中函数 g(μ,t)=2[μt-1+exp(-μt)]/(μt)2式中D为照射总剂量，t为照射时间，t=D/P,P为剂量率，μ称为修复速率常数。这样，就将细胞存活率S与照射总剂量D和剂量率P两个变量联系起来，不仅可获得修复速率常数μ，而且还可得到半值修复时间T1/2:T1/2=ln2/μ在低剂量率照射时，T1/2就是完全修复时间的一半。t→0,S(D,t)=exp[-αD+βD2]表动物实验中正常组织放射性损伤修复的半修复期L-Q模型的数学推导过程及其向高剂量段扩展图体外培养的细胞受照射后典型的细胞存活曲线注：（a）绘制在普通的绘图纸上；(b)绘制在对数绘图纸上L-Q模型的数学推导过程及其向高剂量段扩展由于细胞存活曲线符合指数形式，因此设：ln(s)=f(d)（1）式中：s为细胞存活率，d为照射剂量。f(d)为关于d的多项式。将f(d)根据Taylor在d0=0处展开

（2）

（3）

（4）取前三项，忽略余项，当d=0时：式中：α=f'(0)，β=-f''(0)/2!。由于d=0时，s=1,ln(s)=0，故f(0)=0,所以：或L-Q模型的数学推导过程及其向高剂量段扩展显然，如果余项不为0，这是个近似公式。L-Q公式的计算结果随着剂量d的加大会逐渐偏离实验结果。LQ模型在描述剂量<5~6Gy时的细胞反应较好，很适合在这个范围内使用。但是在高剂量段将会与实验结果发生偏离上式是由f(d)在d0=0处展开，并且保留前三项。由此，可以从一下两种方式将L-Q公式推向高剂量段：