广东省广州市新港中学高二数学理期末试卷含解析

广东省广州市新港中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=60°，b=2，sinA=sinB，则向量在方向上的投影为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据正弦定理，由sinA=得出a=，从而得出a=，进一步由正弦定理可求出，，从而便可求出sinC=，从而由正弦定理求出c=8，这样根据投影的计算公式便可求出要求的投影的值．【解答】解：由正弦定理，，带入得：，如图，在△ABC中，；∴sinB=，cosB=；∴sinC=sin（A+B）==；∴；解得c=8；根据条件，在方向上的投影为：．故选D．2.椭圆的焦距为2，则m的值等于(

)

A.5

B.5或8

C.5或3 D.20参考答案：C3.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为64个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由题意知，；；；；.故选：C.

4.在中，若，那么等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B，在中，，则，由余弦定理得，又，=.5.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A6.曲线与曲线的（

）A.焦距相等

B.离心率相等

C.焦点相同

D.以上答案都不对参考答案：A7.如图，在棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（*****）

A．

B．

C．

D．2参考答案：D8.甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）A．72种B．54种C．36种D．24种参考答案：C【分析】根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，再排甲、乙、丙三人，分甲乙两人相邻、不相邻两种情况讨论，可得甲、乙、丙的排法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，排好后，丁、戊的两边和中间共有3个空位．再排甲、乙、丙三人，若甲乙相邻，则把甲乙视为一个元素，与丙一起放进三个空位中的两个空位中，有2A32=12种方法；若甲乙不相邻，则甲、乙、丙一起放进三个空位中，有A33=6种方法，根据分步、分类计数原理，不同的排法数目有2×（12+6）=36种，故选：C．【点评】本题考查排列、组合的运用，解题时注意甲乙两人可以相邻，还可以不相邻，需要分情况讨论，属于中档题．9.若直线与直线平行，则实数的值为

（

）A．

B．1

C．1或

D．

参考答案：A略10.已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦长为（）A． B． C．

D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点和（）的椭圆的标准方程为_________．参考答案：12.n个连续自然数按规律排成下表：

03→47→811…

↓

↑

↓

↑

↓

↑

1→

2

5→

6

9→10根据规律，从2009到2011的箭头方向依次为________．①↓→②→↑③↑→④→↓参考答案：②略13.数列的首项为,前n项和为,若成等差数列,则

参考答案：略14.设抛物线被直线所截得的弦长为，则．参考答案：-4略15.将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有

种.(结果用数值作答)参考答案：80按的位置分类，当在第三个位置时，共有种排法；当在第四个位置时，共有种不同的排法；当在第五高为位置时，共有种不同的排法，所以当都在的左侧时，共有种不同的排法，所以都在的同侧时，共有种不同的排法.

16.双曲线以为焦点，且虚轴长为实轴长的倍，则该双曲线的标准方程是

.参考答案：17.已知且,则的最大值

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列，＝2，n∈N*.（Ⅰ）求并由此猜想出的一个通项公式；（Ⅱ）证明由（Ⅰ）猜想出的结论．参考答案：解：（Ⅰ）由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，…………3分由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想an的一个通项公式为：an＝n＋1(n∈N*)．…6分（Ⅱ）证明：①当n＝1时，a1=2，猜想成立．…………7分②假设当n＝k（k∈N*且k≥1）时猜想成立，即ak=k＋1，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，………………11分也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1=(k＋1)＋1.猜想成立根据①和②，对于所有n∈N*，都有an=n＋1.…………………12分

略19.（本小题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）解：因为是奇函数．

所以，其中且.

…………2分

即,其中且.

所以.

…………6分（Ⅱ）解：.

…………8分因为在区间上单调递增,所以在上恒成立，

………9分

即在上恒成立，

因为在上的最小值，所以．

验证知当时，在区间上单调递增.

…13分

20.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导函数，通过当a≤0时，当a＞0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．（2）通过当a=0时，当a＜0时，当a＞0时，分别求解判断求解函数的最小值，推出a的取值范围．【解答】解：（1），…（1分）当a≤0时，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增…（3分）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a，∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2）当a=0时，f（x）＞0恒成立…（6分）当a＜0时，当x→0时，f（x）→﹣∞，f（x）≥0不成立…（8分）当a＞0时，由（1）可知f（x）min=f（a）=a﹣alna，由f（a）=a﹣alna≥0得1﹣lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）综上所述，a的取值范围是．…（12分）【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，导数的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．21.已知，直线：，椭圆：的左、右焦点分别为，（Ⅰ）当直线过时，求的值；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，△、△的重心分别为、，若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）由已知，交轴于为，，得（Ⅱ）设，因为的重心分别为，所以因为原点在以线段为直径的圆内，所以

，∴①

∴

∵，∴，即…②由及①②，得实数的取值范围是.略22.已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）