广东省惠州市博罗县高级中学2023年高二数学理测试题含解析

广东省惠州市博罗县高级中学2023年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.曲线在点(0,－1)处的切线方程为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果.【详解】由可得，所以，所以曲线在点处的切线方程为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.3.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.“4＜K＜9”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程+=1表示的图形为椭圆的k的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵方程+=1表示的图形为椭圆，∴，解得：4＜k＜9且k≠，故“4＜K＜9”是“方程+=1表示的图形为椭圆“的必要不充分条件，故选：B．5.已知i是虚数单位，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.6.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含个小正方形．则等于（

）A．39B．40

C．41

D．42参考答案：C略7.设、、为整数（），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为（）.已知，则的值可以是（

）A.2015

B.2011

C.2008

D.2006参考答案：B8.设全集U是实数集R，集合A＝{y|y＝3x，x>0}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分所表示的集合是（

）A．{x|0≤x＜1}

B．{x|0≤x≤1}

C．{x|1＜x＜2}

D．{x|1＜x≤2}参考答案：B9.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）A．5 B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可求得a和b的关系式，进而利用c=求得c和b的关系，最后求得a和c的关系即双曲线的离心率．【解答】解：依题意可知=，求得a=2b∴c==b∴e==故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的时候注意看双曲线的焦点所在的坐标轴，根据坐标轴的不同推断渐近线不同的形式．10.直线在y轴上的截距是()A．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于__________．参考答案：45°12.用更相减损术求38与23的最大公约数为

参考答案：113.变量x、y满足线性约束条件，则使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无数个，则a的值为

．参考答案：2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线2x+y=2平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣2，即a=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.函数的单调递减区间是

.参考答案：15.空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是．参考答案：4【考点】直线与平面平行的性质．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形，设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积），利用EN∥BD，可得=1=+，整理可得8=4x+y，利用基本不等式即可解得面积的最大值．【解答】解：如图，假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形；设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积）；由EN∥BD，可得：=，==，两式相加，得：=1=+，化简，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，（当且仅当2x=y时等号成立），解得：xy≤4，解得：S=xy≤4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线与平面平行的性质，四边形取值范围的求法，是中档题，解题要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.抛物线上横坐标为2的点到其焦点的距离为________

参考答案：略17.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有

种．参考答案：1200【考点】排列、组合的实际应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】先排除甲的其余6人，因为乙、丙两位同学要站在一起，故捆绑再与其余5人进行全排，再将甲插空，由于甲不能和乙站在一起，故甲有5种插法，根据乘法原理即可得到结论．【解答】解：根据题意，先排除甲的其余6人，因为乙、丙两位同学要站在一起，故捆绑再与其余5人进行全排，共有=240种排法，再将甲插空，由于甲不能和乙站在一起，故甲有5种插法，所以根据乘法原理，不同的站法有240×5=1200种．故答案为：1200．【点评】本题考查排列知识，考查乘法原理的运用，考查学生分析解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设动点

到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线C．（1）求点的轨迹方程；（2）设圆M过，且圆心M在P的轨迹上，是圆Ｍ在轴的截得的弦，当Ｍ运动时弦长是否为定值？说明理由；（3）过做互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面积的最小值．参考答案：解：(1)

由题意知，所求动点为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为；---------4分

(2)设圆心，半径

圆的方程为

令得

即弦长为定值；---------9分(3)设过F的直线方程为

,

由得

由韦达定理得

同理得

四边形的面积.---------14分19.在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与OM垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.参考答案：（1），l的极坐标方程为；（2）【分析】（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【详解】（1）因为点在曲线上，所以；即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线直角坐标方程为，即；因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；（2）设，则，，由题意，，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.20.（本小题满分14分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：房屋面积1109080100120销售价格（万元）3331283439（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为时的销售价格.（提示：，，，

）参考答案：解：（1）数据对应的散点图如图所示：

……………….……………….……………….2分（2）……………….……………….……………….3分……………….……………….…4分，……………….……………….……………….5分……………….……………….6分∴，……………….……………….……………….8分

……………….…….…….……10分∴回归直线方程为．

……………….……………….12分（3）据（2），当时，销售价格的估计值为：（万元）……………….……………….……………….14分

略21.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明．参考答案：解：（1）由已知条件得对定义域中的均成立

即

对定义域中的均成立.

即（舍去）或.

所以.

（5分）（2）由（1）得设，当时，.

当时，，即.当时，在上是减函数.

（10分）同理当时，在上是增函数.

（13分）略22.已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合.（1）求椭圆的方程；（2）直线经过点与椭圆相交于A、B两点，与抛物线相交于C、