广东省广州市高级中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析

广东省广州市高级中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=（）x，a，b∈R+，A=f（），B=f（），C=f（），则A、B、C的大小关系为（）A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A参考答案：A【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点；7F：基本不等式．【分析】先明确函数f（x）=（）x是一个减函数，再由基本不等式明确，，三个数的大小，然后利用函数的单调性定义来求解．【解答】解：∵≥≥，又∵f（x）=（）x在R上是单调减函数，∴f（）≤f（）≤f（）．故选A2.设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值是（

）A.0 B.1 C. D.3参考答案：B3.下列几种推理过程是演绎推理的是()A．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇B．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C．由圆的性质推测球的性质D．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B参考答案：D略4.已知复数，那么复数的虚部为

（

）A. B.

C. 1

D.参考答案：D略5.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为

A．0.12J

B．0.18J

C．0.26J

D．0.28J

参考答案：B略6.若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时及当m=﹣1，n=0时，满足条件．【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示．又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质及数形结合思想的合理运用．7.现有四个函数:①;②;③;④的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右的顺序对应的函数序号是（▲）

A．④①②③

B．①④②③

C．①④③②

D．③④②①参考答案：B略8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是（

）

A．(0,1)

B.(1,0)

C.(-1,-4)或（1,0）

D.(-1,-4)参考答案：B略10.函数的图象的大致形状是A. B.C. D.参考答案：A令x=0可得，则排除C、D；,当时，，当时，，故排除B，本题选择A选项.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“”是的

.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)参考答案：充要条件∵，∴，整理得．∴“”是“”的充要条件．

12.圆心是，且经过原点的圆的标准方程为_______________________;参考答案：略13.方程有三个不同的实根，则的取值范围是_____________参考答案：略14.如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求出此角即可得到所求．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，根据余弦定理可知∠A1BC1的余弦值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．15.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的体积相等，则它们的表面积之比______.（用数值作答）参考答案：【分析】由已知中圆柱M与球O的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S圆柱：S球的值．【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h则球的表面积S球＝4πR2又∵圆柱M与球O的体积相等即解得h＝，4πR2＝2πR2+2πR?h则S圆柱＝2πR2+2πR?h=，S球，∴S圆柱：S球，故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键．16.已知点在不等式组表示的平面区域内,则

的取值范围是___________.参考答案：[－4，２]17.已知点P是圆F1上任意一点，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点,则点M的轨迹C的方程为

********

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．参考答案：

19.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角；

参考答案：(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AC底面ABCD∴AC⊥PD，又∵底面ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，∴AC⊥平面PBD，………… 4分又AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD. ……6分 （2）解:记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，AC⊥平面PBD，∴PC在平面PBD内的射影是PO，∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，………10分 ∵PD=AD,∴在Rt△PDC中，PC=CD，而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°.即PC与平面PBD所成的角为30°. ………………14分略20.(本小题满分8分)已知椭圆的两个焦点，，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，如果的周长等于．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由题意知，，所以，，所以椭圆的方程为.

……………2分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为，

因为点在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，.由消去得，

……………3分设，，则由根与系数关系得，，

所以，

……………4分则，，所以＝

＝＝＝＝

……………5分要使上式为定值须，解得，所以为定值.

……………6分当直线的斜率不存在时，，由可得，，所以，

……………7分综上所述当时，为定值.

……………8分

略21.已知抛物线的焦点为F，A，B抛物线上的两动点，且，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（1）证明：为定值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．参考答案：（Ⅰ）定值为0；（2）S=，S取得最小值4．分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得和，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．详解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4.于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo==2k，yo==﹣1，即M（，﹣1）,从而=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|=因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=．于是S=|AB||FM|=，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．点睛：本题求S的最值，运用了函数的方法，这种技巧在高中数学里是一种常用的技巧.所以本题先求出S=，再求函数的定义域，再利用基本不等式求函数的最值.22.中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按以一分钟计算。设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用。参考答案：算法分析：数学模型实际上为：y关于t的分段函数。关系式如下：其中t－3表示取不大于t－3的整数部