广东省广州市潭山中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

广东省广州市潭山中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(

)A． B． C．3 D．5参考答案：A【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A．【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．2.如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若，且，则双曲线C的离心率为A． B． C． C．参考答案：B4.在数列中，，则（

）A．数列单调递减

B．数列单调递增

C．数列先递减后递增

D．数列先递增后递减参考答案：A由，知，①，则有②．由②-①得，即．∵，∴与同号．由，易知，，即，由此可知数列单调递减，故选A．5.下列函数是奇函数的是(

) A．f（x）=﹣|x| B．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x） C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=x3﹣1参考答案：B考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，从而根据奇函数、偶函数的定义作出判断．解答： 解：对于函数f（x）=﹣|x|，由于f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x），故函数f（x）为偶函数．对于f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），它的定义域为（﹣1，1），且满足f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．对于函数f（x）=2x+2﹣x，由于f（﹣x）=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）为偶函数．对于函数f（x）=x3﹣1，由于f（﹣x）=﹣x3﹣1≠﹣f（x），故不是奇函数，故选：B．点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，属于中档题．6.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像

（

）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：B略7.在平面直角坐标系中，已知，，若，则A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.设，，若，，

，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.对于函数，“的图像关于y轴对称”是“是奇函数”的（

）A

充分而不必要条件

B必要而不充分条件C充要条件

D既不充分也不必要条件参考答案：B略10.曲线在点P（1，0）处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“,”的否定是

；参考答案：略12.某校有高级教师26人，中级教师104人其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师

人．参考答案：18213.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生的勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院的C专业应抽取

名学生。参考答案：40略14.若方程的解为，则不等式的最大整数解是

.参考答案：215.设函数f（x）=sin（x+）（x∈R），若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为

．参考答案：2考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知可知f（x1）是f（x）中最小值，f（x2）是值域中的最大值，它们分别是函数图象的最高点和最低点的纵坐标，它们的横坐标最少相差正弦函数的半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．解答： 解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）和f（x2）分别是函数的最大值和最小值，∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，∵T=，∴|x1﹣x2|的最小值为2，故答案为：2．点评：本题是对正弦函数性质的考查，明确三角函数的图象特征，以及f（x1）≤f（x）≤f（x2）的实质意义的理解是解决好这类问题的关键．16.已知sin10°＋mcos10°＝－2cos40°，则m＝________．参考答案：17.已知向量，则“”是“m=1”的

▲

条件．参考答案：必要非充分因为，所以或，因此是“m=1”的必要非充分条件．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知向量（）,,，（Ⅰ）若为某锐角三角形的内角，证明：不可能互相垂直；（Ⅱ）若三点共线，求的值.参考答案：（1）假设，则即而为锐角三角形的内角，（矛盾），所以假设不成立，即若为某锐角三角形的内角，则不可能互相垂直；

---6分（Ⅱ），由三点共线，得∥.所以，化简得，所以.

---12分19.设分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,)到F1，F2两点的距离之和等于4.⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；⑵过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.参考答案：.⑴椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；又点A(1,)在椭圆上，因此得b2=1，于是c2=3；所以椭圆C的方程为，⑵∵P在椭圆内，∴直线DE与椭圆相交，∴设D(x1,y1),E(x2,y2)，代入椭圆C的方程得

x12+4y12-4=0,x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1∴DE方程为y-1=-1(x-),即4x+4y=5;(3)直线MN不与y轴垂直，∴设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得（m2+4)y2+2my-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,且△>0成立.又S△OMN=|y1-y2|=×=，设t=≥,则S△OMN=,(t+)′=1-t-2>0对t≥恒成立，∴t=时t+取得最小，S△OMN最大，此时m=0,∴MN方程为x=1

略20.（本小题满分13分）已知函数，(l)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数f(x)的单调区间。参考答案：21.已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．参考答案：考点：函数单调性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意可知．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈（0，π），可以得到θ的值．（2）由题设条件知．mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知，由此可知m的取值范围．（3）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．由此入手可以得到m的取值范围是．解答： 解：（1）由题意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即．∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ?x﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ?1﹣1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得．（2）由（1），得f（x）﹣g（x）=．∴．∵f（x）﹣g（x）在其定义域内为单调函数，∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2﹣2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即，而，（）max=1，∴m≥1．mx2﹣2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即在[1，+∞）恒成立，而∈（0，1]，m≤0．综上，m的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．（3）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．当m≤0时，x∈[1，e]，，，所以在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立．当m＞0时，．因为x∈[1，e]，所以2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，所以（F（x））'＞0在x∈[1，e