广东省广州市象圣中学2021年高一数学理月考试题含解析

广东省广州市象圣中学2021年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图,是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为，分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（

）

.

.

.

.参考答案：A2.函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（，1] D．（，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即0＜2x﹣1≤1，即1＜2x≤2，解得＜x≤1，故函数的定义域是（，1]，故选：C【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．3.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A【点评】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．4.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|｝，则M∩N＝(

)A．

B．｛x|0＜x＜3｝

C．｛x|1＜x＜3｝

D．｛x|2＜x＜3｝参考答案：C5.判断下列各组中的两个函数图象相同的是（

）①，；②，；③,；

④,；⑤,A．①、②

B．②、③

C．④

D．③、⑤参考答案：C略6.给出下列结论，其中判断正确的是

(

)A．数列前项和，则是等差数列B．数列前项和，则C．数列前项和，则不是等比数列D．数列前项和，则ks5u参考答案：D略7.函数的反函数是

(

)A.(或)B.C.

D.参考答案：C8.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，主视图与左视图是边长为1的正三角形，则其全面积是(

)A．2

B．3

C．

D．参考答案：B9.设全集U={1,2,3,4}，集合S={1,2}，T={2,3}，则等于（

）A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}参考答案：B【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合.【详解】由题意可得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.10.下列命题正确的是（

）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则参考答案：D【分析】利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误。【详解】对于A选项，当时，，A选项错误；对于B选项，取，，，，则，，不成立，B选项错误；对于C选项，取，，，，则，，不成立，C选项错误；对于D选项，当时，则，由于，所以，，D选项正确.故选：D。【点睛】本题考查不等式有关命题的判断，常用不等式的基本性质以及特殊值法去检验，考查逻辑推理能力，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若，，则；

②若，，则；③若，，则；

④若，，，则.其中真命题的序号为

．参考答案：②③12.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，E为PD上一点，且．设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则______．参考答案：2:3【分析】设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为，则．由此能求出．【详解】∵四棱锥的底面是矩形，E为上一点，且．设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则，．．故答案为：．【点睛】本题考查几何体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．13.若，且，则=

．参考答案：略14.已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为

．参考答案：（2，1）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示，即可写出向量的坐标．【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，3），则向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．故答案为：（2，1）．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．15.已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是

．参考答案：3设铜球的半径为R，则，得R=3，故答案为3.

16.若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=

．参考答案：9【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴5=+1，解得：m=9．故答案为：9．17.不等式2|x﹣1|﹣1＜0的解集是

．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：①若x≥1，∴2（x﹣1）﹣1＜0，∴x＜；②若x＜1，∴2（1﹣x）﹣1＜0，∴x＞；综上＜x＜．故答案为：＜x＜．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数f（x）对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（Ⅰ）求证：f（x）是R上的增函数；（Ⅱ）若f（﹣4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）设实数x1＜x2，则x2﹣x1＞0，利用已知可得f（x2﹣x1）＞1．再利用已知可得f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1）即可；（Ⅱ）令a=b=﹣2，以及a=b=﹣1，解得f（﹣2）=3，f（﹣1）=2，不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．化为f（3m2﹣m﹣3）＜f（﹣1），由（1）可得：f（x）在R上是增函数．可得3m2﹣m﹣3＜﹣1，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1．又函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1），∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）令a=b=﹣2，则f（﹣2﹣2）=f（﹣2）+f（﹣2）﹣1=5，解得f（﹣2）=3，再令a=b=﹣1，则f（﹣1﹣1）=f（﹣1）+f（﹣1）﹣1=3，解得f（﹣1）=2．不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．化为f（3m2﹣m﹣3）＜f（﹣1）．由（1）可得：f（x）在R上是增函数．∴3m2﹣m﹣3＜﹣1，解得﹣＜m＜1．∴不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2的解集为（﹣，1）．【点评】本题考查了抽象函数的单调性、求值、解不等式等基础知识与基本方法，考查了灵活应用知识解决问题的能力，属于中档题．19.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C所对的边，（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，求的值。参考答案：(1)由已知及正弦定理得∴,∴；（2）由余弦定理得，由，∴20.如图，在三棱柱中，底面，且为等边三角形，，为的中点.

（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积.参考答案：（1）.证明:如图所示,

连接交于,连接,因为四边形是平行四边形,所以点为的中点,又因为为的中点的中点,所以为的中位线,所以,又平面,平面,所以平面.

2.证明:因为是等边三角形,为的中点,所以,∴,∴21.（本小题满分10分）等差数列的前项和为，已知，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．参考答案：设等差数列公差为，首项为 ………………（1分）则，解得，.

……………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则

………………（8分）.

………………（10分）22.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的三等份点，，.（1）求证：BD∥平面AEF；（2）若，AE⊥平面BCD，求