广东省广州市新和中学2021年高一数学理期末试卷含解析

广东省广州市新和中学2021年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则图中阴影部分表示的集合为A．{1} B．{–1，0} C．{0，1} D．{–1，0，1}参考答案：B2.在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC参考答案：C【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．3.已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，6}，那么（?UA）∩B等于（）A．{2，4，6} B．{4，6} C．{3，4，6} D．{2，3，4，6}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集和交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，6}，则?UA={2，4，6}，所以（?UA）∩B={4，6}．故选：B．4.已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集是

．

．

．

．参考答案：B5.函数y=ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，3） D．（2，4）参考答案：D【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】由a0=1，可得当x=2时，函数y=ax﹣2+3=a0+3=4，从得到函数y=ax﹣2+3（0＜a≠1）的图象必经过的定点坐标．【解答】解：指数函数的图象必过点（0，1），即a0=1，∴x=2时，y=ax﹣2+3=4，∴函数图象必过点（2，4）．故选D．6.已知tan(+α)=,则的值为(

)A．

B.

C.

D.参考答案：B7.若A（x，﹣1），B（1，3），C（2，5）三点共线，则x的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3参考答案：B【考点】三点共线．【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．【解答】解：三点A（x，﹣1），B（1，3），C（2，5）共线?∥，由题意可得：=（2﹣x，6），=（1，2），所以2（2﹣x）=1×6，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．8.已知是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中的假命题是(

)A．若

B．若C．若

D．若参考答案：A由无法得到m，n的确切位置关系.9.在不等边三角形ABC中，a是最大边，若，则A的取值范

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C10.若，,，则的值等于（

）A．

B． C．

D．

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：

－6

12.已知圆过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线x-y+1=0上，求圆的方程__

__.参考答案：13.若函数是偶函数，则该函数的递减区间是______________.参考答案：略14.已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

参考答案：20略15.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)共线，则x的值为________.参考答案：-1略16.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为

；参考答案：17.若在区间上的最大值是,则________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）如图1所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

参考答案：（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝

…………1分若直线经过点B（3，1）时，则b＝

…………1分若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

…………1分①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

此时E（2b，0）∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

…………2分②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2此时E（3，），D（2b－2，1）ks5u∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝…………2分∴

…………1分（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形…………1分根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．…………1分过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，…………1分设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴…………1分∴S四边形DNEM＝NE·DH＝∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．…………2分19.已知：lg2=a，lg3=b，试用a，b表示下列各式的值：（1）lg6；

（2）；

（3）log92．参考答案：考点：换底公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）（2）（3）利用对数的换底公式及其运算性质即可得出．解答：解：（1）∵lg2=a，lg3=b，∴lg6=lg2+lg3=a+b；（2）=lg2﹣2lg3=a﹣2b；（3）log92==．点评：本题考查了对数的换底公式及其运算性质，属于基础题．20.已知函数

(Ⅰ）求的值；(Ⅱ）求（）的值；(Ⅲ）当时，求函数的值域。参考答案：（Ⅰ）

(Ⅱ）

(Ⅲ）①当时，∵

∴

②当时，

③当时，∵

∴故当时，函数的值域是

21.如图，在边长为1的正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切，当一个圆为正方形内切圆时半径最大，另一圆半径最小，记其中一个圆的半径为x，两圆的面积之和为S，将S表示为x的函数。求：（1）函数的解析式；（2）的值域.参考答案：解：(1)设另一个圆的半径为y，则∴，

…………………2分，

…………………4分因为当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，所以函数的定义域为

…………………5分………………6分(2)

…………………8分因为

…………………10分所以，所以函数的值域为.………………12分22.（本小题满分14分）已知，．记（其中都为常数，且