广东省广州市文冲中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

广东省广州市文冲中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若定义在上的偶函数在上是增函数，且，那么不等式在上的解集为

（

）A.

B.C.

D.参考答案：D略2.已知集合，，则＝ A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.设与（且≠2）具有不同的单调性，则与的大小关系是（

）

A．M<NB．M=NC．M>ND．M≤N参考答案：C略4.右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C5.已知数列，那么“”是“数列为等差数列”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：6.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D略7.已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】依题意可知f（x）=sin（ωx+）的周期为π，从而可求得ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，∴ω=2；∴f（x）=sin（2x+）．令g（x）=cos2x=sin（2x+），则g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的图象，只需将y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的图象右平移个单位即可．故选B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω的值是关键，考查平移知识与运算能力，属于中档题．8.已知，若恒成立，则实数的取值范围是A．或 B．或

C．

D．【解析】因为，当且仅当，即时取等号，所以要使恒成立，则有，即，解得，选D.参考答案：因为，当且仅当，即时取等号，所以要使恒成立，则有，即，解得，选D.【答案】D9.已知函数，对于，若，满足，则的取值范围是A．B．

C．

D．参考答案：C10.若集合A={0，4}，B={2，a2}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．分析：判断“a=2”成立时是否有A∩B={4}成立；判断A∩B={4}成立时是否有“a=2”成立；利用充分、必要条件的定义判断出答案．解答：解：当“a=2”成立时，B={2，4}，∴A∩B={4}成立反之，当A∩B={4}”成立时，∴4∈B∴a2=4∴a=±2即“a=2“不一定成立∴“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件故选A点评：本题考查如何判断一个命题是另一个命题的什么条件、考查利用交集的定义解决集合的交集运算．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点是的重心，若则的最小值_____参考答案：12.设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|的最小值为．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值..【解答】解：∵曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离d，设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，∵y′=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1，∴d==，∴丨PQ丨的最小值为2d=．故答案为：．13.若实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值为．参考答案：8【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8．故答案为：8．14.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则函数在点处的切线方程是

．参考答案：15.函数的定义域为

．参考答案：(-1,)

略16.设，行列式中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则

参考答案：17.设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是

.

参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知关于x的方程的两不等实根为，函数的定义域为．(1)求的值；(2)设表示函数的最大值，表示函数的最小值，记函数，求函数的值域．参考答案：(1)(2)h（t）的值域为[2，+∞）解析：解：（1）由韦达定理得：x1x2=﹣1，x1+x2=2t，则f（x1）f（x2）==．（2），由于x1，x2为方程x2﹣2tx﹣1=0的两实根，故当x∈[x1，x2]时，x2﹣2tx﹣1≤0恒成立，得f′（x）≥0在[x1，x2]上恒成立，所以f（x）在[x1，x2]上递增，所以由题意知g（t）=f（x2）﹣f（x1）=，结合（1），将1=﹣x1x2，t=代入上式化简得g（t）==．在h（t）中，令u=log2t，则u∈（0，1]，则函数化为y=，化简得，u∈（0，1]，根据对勾函数的性质，该函数在（0，1]上递减，所以函数h（t）的值域为[2，+∞）．

略19.如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．参考答案：【考点】轨迹方程；直线的一般式方程．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程．【解答】解：（1）因为，所以|OP|=，因为OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，所以|OM|==；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，所以|OM|=，所以△OMP的面积为××=，所以；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得代入化简得动点T轨迹方程为．20.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，底面为菱形，，,且，平面，底面.（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.参考答案：.解：（I）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，设则，……2分

解得，……4分，设平面的法向量为，则，令，

……6分又平面的法向量为所以所求二面角的大小为…………………8分（Ⅱ）设得……10分，，解得，存在点使面此时…………12分略21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线。(1)求椭圆的方程

(2)过点的动直线交椭圆于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案：解：（I）由得直线是抛物线的一条切线。所以所以椭圆…………5分（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为所以两圆的交点为点（0，1）猜想：所求的点T为点（0，1）.…………8分证明如下。当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆