广东省广州市知用中学高三数学理联考试题含解析

广东省广州市知用中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则=（）A．（﹣2，7）B．（﹣6，21）C．（2，﹣7）D．（6，﹣21）参考答案：B略2.命题“?x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是（）A．?x0?（0，+∞），≤1 B．?x0∈（0，+∞），≤1C．?x?（0，+∞），2x≤1 D．?x∈（0，+∞），2x＜1参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是：?x0∈（0，+∞），≤1．故选：B．3.已知椭圆，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为()A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.设f(x)为偶函数，x≥0时f(x)＝x3－8，则{x|f(x－2)>0}＝()A．{x|x<－2或x>4}

B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6}

D．{x|x<－2或x>2}参考答案：B5.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为A．

B． C． D．参考答案：A略6.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为（

）cm2.A．50

B．60C．70

D．80参考答案：D7.已知，函数的最小值为6，则a=（

）A.-2 B.-1或7 C.1或-7 D.2参考答案：B【分析】将化简成，利用基本不等式求得最小值，即可得到a.【详解】，（当且仅当时等号成立），即，解得或7.故选B.【点睛】本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题.8.设x，y满足条件若目标函数的最大值为2，则

的最小值为

（

）

A．25

B．19

C．13

D．5

参考答案：A略9.已知=(

) A．-2 B．-1 C．

D．参考答案：A10.右面的程序框图表示求式子×××××的值,则判断框内可以填的条件为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是___________．参考答案：略12.曲线在处的切线方程为

．参考答案：由题意得，，∴，而时，，∴切线方程为，即，故填：.

13.不等式对于任意非零实数，均成立，则实数的最大值为

▲

.参考答案：，设，（）得：无解，所以，即的最大值为

14.已知抛物线（）的准线与圆相切，则的值为

．参考答案：2

考点：抛物线与圆的位置关系.15.若x，y满足，则z=2x+y的最大值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16.根据下面一组等式 S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=15 S4=7+8+9+10=34 S5=11+12+13+14+15=65 S6=16+17+18+19+20+21=111 S7=22+23+24+25+26+27+28=175,可得S1+S2+…+S99=

参考答案：18145略17.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B，若A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为

．参考答案：；

12、；

13、；

14、三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,.(Ⅰ)求山路的长;(Ⅱ)假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

参考答案：(Ⅰ)∵,

∴∴,…2分∴…………4分根据得所以山路的长为米.…6分(Ⅱ)由正弦定理得()…………8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为，由题意得，………10分整理得

∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内.

…12分19.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，为极点，点，．（1）求经过的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数，为半径），若圆与圆相切，求半径的值．参考答案：解（1）

………5分（2）或．

………10分20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE∥PC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明PA⊥DE，再证明PA⊥OE，可得PA⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）因为PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（12分）因为PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）【点评】本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.（本小题满分14分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）证明：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A－PC－D的正切值；参考答案：解：（1）连结交于,连结,则,且,又平面,平面,PB//平面EAC．

……4分（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．

……9分（3）在PC上取点M使得。由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以所以，在等腰直角三角形DPC中，，连接，因为AE⊥平面PCD，所以，。所以，为二面角A－PC－D的平面角。…………12分在中，．即二面角A－PC－D的正切值为

…………14分22.（13分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M．证明：AB⊥MF；（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

参考答案：考点:圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．专题:综合题；压轴题．分析:（1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=得=，椭圆方程可求．（2）要证明AB⊥MF，只需证=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可．（3）先假设椭圆E上存在点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），直线A′B′过点F．再根据假设与已知条件去求M′坐标，如果存在，用所求结果求抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积．解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c．由已知条件，F（0，1），∴b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1．所以椭E的方程为．（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1≠x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x2﹣4kx﹣4=0∴x1x2=﹣4．∵抛物线的方程为y=x2，求导得y′=x，∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是y﹣y1=x1（x﹣x1），y﹣y2=x2（x﹣x2）即y=x1x﹣，y=x2x﹣x22解得两条切线的交点M的坐标为（，﹣1）∴?=0∴AB⊥MF．（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=﹣1上，又直线y=﹣1与椭圆有唯一交点，故M′的坐标为（0．﹣1），设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y﹣y0=x0（x﹣x0）：，其中点（x0，y0）为切点．令x=0，y=﹣