广东省广州市新和中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

广东省广州市新和中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等于（）A．0

B．

C．

D．参考答案：C2.已知向量=(-5，6),=(6，5)，则与

A．平行且反向

B．不垂直也不平行

C．平行且同向

D．垂直参考答案：答案：D3.如图所示的程序框图，若输入的n的值为1，则输出的k的值为(A)2(B)3(C)4(D)5参考答案：C略4.函数在［0，+）内

A.没有零点

B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点

D.有无穷多个零点参考答案：B5.已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小值为（） A． B． C． D． 参考答案：考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析： 先根据三角函数的诱导公式将原函数变成y=sinωx，所以ωx=时该函数第一次取极值，时该函数第二次取极值，所以，x=1时，ω便取最小值．解答： 解：y=；∴时取第一次极值，时取第二次极值；∴，x取最大值1时，ω取最小值．故选：B．点评： 考查三角函数的诱导公式，及正弦函数的极值．6.若等差数列的公差，且成等比数列，则（

）A．2 B．

C．

D．参考答案：D7.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列{}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（

）

A．13，12B．13，13C．12，13D．13，14参考答案：B考点：等比数列样本的数据特征试题解析：因为a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，

所以，平均数和中位数均为13

故答案为：B8.已知函数，则下列判断正确的是（

）A．此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是B．此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是C．此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是D．此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是参考答案：B9.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A． B． C． D．1参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值，可得结论．【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形，此时V=×1×1×2=，1＞，故该几何体的体积不可能是1，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是(

)A．2 B． C．4 D．2参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，可得结论．解：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，因为主（正）视图是边长为2的正三角形，所以几何体的左（侧）视图的面积S==故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是根据所给的三视图判断出几何体的几何特征．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当时，函数的所有零点之和为________.参考答案：6【分析】令解得时方程的根，作和即为所求零点之和.【详解】令，当时，解得：或所求零点之和为：本题正确结果：6【点睛】本题考查函数零点的求解问题，属于基础题.12..函数存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围是______．参考答案：【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．【详解】（i）当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去．

（ii）当时，，令，解得x=0或①当a＜0时，＞0，当x＞或x＜0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜-时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．

∴故x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵函数f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则即a2＞4得a＞2（舍）或a＜-2．

②当a＞0时＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；

当＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．

∴x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．

∵f（0）=-1＜0，

∴函数f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件．

综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）．

故答案为：（-∞，-2）．【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

.参考答案：1514.设函数f（x）=满足的x的范围是_________参考答案：略15.如图，在直角坐标系中，已知射线，，过点作直线分别交射线于两点，且，则直线的斜率为

.参考答案：答案：

16.已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：略17.已知实数满足条件，设目标函数z=x+y，则z的最小值为

。参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．参考答案：（1）抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人（2）2.75%（3）约为4.51亿元试题分析：（1）有图表得到分层比例，得抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人；（2）80岁及以上长者有：=11万人，百分比为：=2.75%；（3）用样本估计总体，年度预算约为4.51亿元。试题解析：（1）数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025

从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为：=故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人；

（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：=所以80岁及以上长者有：=11万人用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为：=2.75%

（3）先计算抽样的600人的预算，其中享受1000元/年的人数为14+25+20+45+20=125人，享受600元/年的人数为600﹣125=475人，预算为：125×1000+475×600=41×104元用样本估计总体，全市老人的总预算为×41×104=4.51×108元:所以政府执行此计划的年度预算约为4.51亿元19.设S＝{1，2，3，…，280}．求最小的自然数n使得S的每个有n个元素的子集都含有5个两两互素的数．参考答案：解析：令Ai＝｛S中一切可被i整除的自然数｝，i＝2，3，5，7．记A＝A2∪A3∪A5∪A7，利用容斥原理，容易算出A中元素的个数是216．由于在A中任取5个数必有两个数在同一个Ai之中，从而他们不互素．于是n≥217．另一方面，令B1＝(1和S中的一切素数｝B2＝(22，32，52，72，112，132｝B3＝｛2×131，3×89，5×53，7×37，11×23，13×19｝B4＝｛2×127，3×83，5×47，7×31，11×19，13×17｝B5＝{2×113，3×79，5×43，7×29，11×17}B6＝{2×109，3×73，5×41，7×23，11×13}易知B1中元素的个数为60．令B＝B1∪B2∪B3∪B4∪B5∪B6，则B中元素的个数为88，S－B中元素的个数为192．在S中任取217个数，由于217－192＝25＞4×6，于是存在i(1≤i≤6)，使得这217个数中有5个数在Bi中．显然这5个数是两两互素的，所以n≤217．于是n＝217．20.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．参考答案：【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…（2分）即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…（4分）又因为A∈（0，π），所以．…（6分）（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA，则…（8分）即，解得或，…（10分）又，所以．…（12分）【点评】本题考查正弦定理以