广东省广州市信孚教育集团黄石中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省广州市信孚教育集团黄石中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知α为第四象限的角，且=

A．

B．

C．一

D．参考答案：A2.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为A． B． C． D．参考答案：A3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺重量为（

）A．9斤

B．9.5斤

C．6斤

D．12斤参考答案：A由等差数列性质得中间3尺重量为,选A.

4.执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i值为(

)A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当，S=时不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．解：模拟执行程序框图，可得k=2，i=1，S=1满足条件S≤2，i=2，S=满足条件S≤2，i=3，S=满足条件S≤2，i=4，S=＞2不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5.已知集合，则

A.

B

C．

D.参考答案：B略6.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙参考答案：A根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.

7.在区间[0,1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为A、

B、

C、

D、参考答案：D略8.已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx﹣kc．若k=，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若k=，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（）A．（1，2） B．（1，4） C．（2，4） D．（4，16）参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知双曲线的渐近线斜率＜＜，根据e==，即可求得Γ的离心率的取值范围．【解答】解：由题意可知：直线l：y=k（x﹣c）过焦点F（c，0）．双曲线的渐近线方程y=x，可得双曲线的渐近线斜率＜＜，∵e==，由3＜＜15，4＜1+＜16，∴2＜e＜4，∴双曲线离心率的取值范围为（2，4）．故选C．9.在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像关于y轴对称，若的值是A. B. C. D.参考答案：A10.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．3参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y=0，由题设知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列：中，令，表示集合中元素的个数．（1）若，则

；（2）若（为常数，且，）则

．参考答案：（1）7

（2）根据题中集合表示的含义，可知中元素为数列中前后不同两项的和，所以，则集合中元素为4，6，8，10，12，14，16，元素个数为7.（2）易知，数列数列为首项为，公差为（）的等差数列，所以，，可以取遍从3到中每个整数，共有个不同的整数，故。12.设直线，与圆交于A，B，且，则a的值是______．参考答案：10或－30因为，圆心为，半径为，，由垂径定理得，所以圆心到直线的距离为4．，，故填10或－30．13.在中，，，，则面积等于

．参考答案：略14.已知复数是纯虚数，那么实数a=_______.参考答案：－115.函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．参考答案：2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．16.已知函数在区间[1,e]上取得最小值4，则

▲

．参考答案：－3e17.执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为

．参考答案：3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的P，Q，n的值，当P=21，Q=15，n=3时不满足条件P≤Q，输出n的值为3．解答： 解：执行程序框图，有a=4P=0，Q=1，n=0满足条件P≤Q，有P=1，Q=3，n=1；满足条件P≤Q，有P=5，Q=7，n=2；满足条件P≤Q，有P=21，Q=15，n=3；不满足条件P≤Q，输出n的值为3．故答案为：3．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A是射线与C1的公共点，点B是与C2的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．参考答案：（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．……4分（2）由（1）知，…由知，当，即时，有最大值．…………10分

19.（本题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数(1)证明:(2)求不等式:的解集参考答案：解：（1）

当

所以

（2）由（1）可知，当的解集为空集；

当；当综上，不等式

20.（本小题满分14分）已知圆C的圆心C与点A（2,1）关于直线4x＋2y－5＝0对称，圆C与直线x＋y＋2＝0相切。（I）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1,1），M（－2，－2），求的最小值；（II）过点P（1,1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由。参考答案：（Ⅰ）设圆心C(a，b)，则A，C中点坐标为，

……1分∵圆心C与点A（2,1）关于直线4x＋2y－5＝0对称，∴，解得，

……3分∴圆心C(0，0)到直线x＋y＋2＝0的距离，

……4分∴求圆C的方程为x2＋y2＝2．

……5分设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，∴·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， ……6分作直线l：x＋y＝0，向下平移此直线，当与圆C相切时x＋y取得最小值，这时切点坐标为（－1,－1），所以·的最小值为－4．

……8分（Ⅱ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0．因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得，同理，，则．所以，直线AB和OP一定平行．

……14分21.（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）参考答案：22.（本小题满分14分）设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式