广东省广州市中学(高中部)高一数学文期末试卷含解析

广东省广州市中学(高中部)高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】取的中点，连接、，作，垂足为点，证明平面，于是得出直线与平面所成的角为，然后利用锐角三角函数可求出。【详解】如下图所示，取的中点，连接、，作，垂足为点，是边长为2的等边三角形，点为的中点，则，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直线与平面所成的角为，易知，在中，，，，，，即直线与平面所成的角为，故选：A。【点睛】本题考查直线与平面所成角计算，求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则，一作的是过点作面的垂线，有时也可以通过等体积法计算出点到平面的距离，利用该距离与线段长度的比值作为直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题。2.当时，函数和函数的图象可能是（

）

参考答案：C由题意得，对与选项D中，根据直线过一、二、四象限可知，，所以是单调递增函数，故选D。3.若a，b，c为实数，则下列命题错误的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＜b＜0，则a2＜b2C．若a＞b＞0，则＜ D．若a＜b＜0，c＞d＞0，则ac＜bd参考答案：B【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可【解答】解：对于A：若ac2＞bc2，则a＞b，故正确，对于B：根据不等式的性质，若a＜b＜0，则a2＞b2，故B错误，对于C：若a＞b＞0，则＞，即＞，故正确，对于D：若a＜b＜0，c＞d＞0，则ac＜bd，故正确．故选：B4.已知，则使得都成立的x的取值范围是(▲)A. B.

C.

D.参考答案：B5.如图，已知边长为a的正三角形ABC内接于圆O，D为BC边中点，E为BO边中点，则为（

）A. B. C. D.参考答案：B【详解】如图，是直角三角形，是等边三角形，，，则与的夹角也是30°，∴，又，∴．故选B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题时可通过平面几何知识求得向量的模，向量之间的夹角，这可简化运算．6.给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的三个判断：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣，]；

②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）在（，]上是增函数．则上述判断中所有正确的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：B【考点】函数的值．【分析】依据函数定义，得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，再对三个命题逐个验证后，即可得到正确结论．【解答】解：在①中，由题意知，{x}﹣＜x≤{x}+，则得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，则命题①为真命题；在②中，由于k∈Z时，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0，但由于f（x）∈（﹣，]，故函数不是中心对称图形，故命题②为假命题；在③中，由于{x}﹣＜x≤{x}+，则得到f（x）=x﹣{x}为分段函数，且在（﹣，]，（，]上为增函数，故命题③为真命题．故答案为①③．故选：B．7.若能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（3）B中的元素可以在A中无原像；（4）像的集合就是集合B。A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C8.定义在R上的函数满足当A．335

B．338

C．1678

D．2012参考答案：B9.已知直角△ABC，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着直线DE翻折至△PDE，形成四棱锥P-BCED，则在翻折过程中，①；②PE⊥BC；③PD⊥EC；④平面PDE⊥平面PBC，不可能成立的结论是（

）A．①②③

B．①②

C.③④

D．①②④参考答案：D由题易知，平面时，有成立，故③能成立，又在翻折的过程中，平面与平面的二面角的平面交就是，由翻折轨迹观察，不可能为直角，故④不能成立，所以由选项可知，①②④不可能成立，故选D。

10.已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为()A．3

B．2

C．

D．1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，的值域是_____________．参考答案：[0.15]12.动圆与已知⊙O-1：外切，与⊙O-2：内切，试求动圆圆心的轨迹方程.参考答案：13.已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（8）=．参考答案：【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过确定出解析式，然后令x=﹣2即可得到f（﹣2）的值．【解答】解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过，则有=3α，∴a=，即f（x）=，∴f（8）==．故答案为：．【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．14.若关于x的不等式的解集为(0,n)，则实数n的值为

．参考答案：2∵关于x的不等式的解集为，∴是方程的解，∴，∴原不等式为，即，解得，故不等式的解集为，∴．

15.（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

．参考答案：考点： 圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题： 直线与圆．分析： 由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答： ∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评： 本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．16.已知等比数列的公比为2，且前4项之和等于1，那么它的前8项之和等于。参考答案：17解法一（利用求和公式）：由已知得

∴即∴

解法二（利用通项公式）：∵

∴＝()=1+2=17

17.关于函数，有下列命题：①最小正周期是；②其图象可由向右平移个单位得到；③其表达式可改写为④在上为增函数，其中正确命题的序号是

.参考答案：①④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(19)（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且。(Ⅰ)确定角C的大小：（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。参考答案：(1)

(2)

解：（1）由及正弦定理得，是锐角三角形，…5分（2）解法1：由面积公式得…………8分由余弦定理得由②变形得………12分解法2：前同解法1，联立①、②得消去b并整理得解得所以故…………12分

19.(本小题满分15分)设是等比数列的前项和，，，成等差数列．（Ⅰ）求数列的公比；（Ⅱ）求证：，，成等差数列；（Ⅲ）当，，成等差数列时，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）当时，，，，，，，不成等差数列，与已知矛盾，．

2分由得：，

4分即，，（舍去），

6分（Ⅱ），，，，成等差数列．

9分（Ⅲ），，成等差数列，或，则，

11分同理：或，则，或，则，或，则，的值为．

15分略20.已知函数(b∈R)在其定义域上为奇函数，函数（a∈R）.（1）求b的值；（2）若存在对任意的成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）函数()在其定义域上为奇函数，

…….4分（2）所以在时，

…….6分所以若存在对任意的成立，只需在时恒成立即可.则所以恒成立，在的最大值为在的最小值为解得所以a的取值范围为 …….12分21.已知函数且．(1）若,求函数在区间上的最大值和最小值；(2）要使函数在区间上单调递增，求的取值范围.参考答案：解：（1）由题意，得，………2分………3分………5分……6分（2）由题意知：当…10分22.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？参考答案：648【分析】设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，可得出，并利用、表示出蔬菜的种植面积，再利用基本不