广东省广州市东涌中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

广东省广州市东涌中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则A∩B=（

）A.(0,1] B.{1} C.[0,1] D.{0,1}参考答案：D【分析】先解出集合和，再利用交集的运算律可得出.【详解】因为，，所以，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键就是将集合都表示出来，考查计算能力，属于基础题。2.函数(,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（

）

A.

B.

C.

D.大小关系不能确定参考答案：C略3.椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为（

）A、20

B、18

C、16

D、14参考答案：B4.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x)＜3

则不等式＜3x－15的解集为

A

(﹣∞，4）

B（﹣∞，﹣4）

C

（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D（4，﹢∞）

参考答案：D略6.已知都是实数，那么“”是“”的（

）A、充分而不必要条件

B、必要而不充分条件C、充分且必要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：D略7.已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代数式log2（a+3）有意义．则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由实数a满足下列两个条件得出关于a的不等式，并求出构成的区域长度，再求出指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的数a构成的区域长度，再求两长度的比值．【解答】解：：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解，则a=0或a≠0，△≥0?，解得：a≤，且a≠0，综合得：a≤；②代数式log2（a+3）有意义?a＞﹣3．综合得：﹣3＜a≤．满足两个条件：①②数a构成的区域长度为+3=，指数函数y=（3a﹣2）x为减函数?0＜3a﹣2＜1?＜a＜1．则其构成的区域长度为：1﹣=，则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为=故选：A．8.若，满足约束条件，则目标函数的最大值是．

．

．

．参考答案：．实数，满足不等式组，则可行域如图，作出，平移，当直线通过时，的最大值是．故选．9.若双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线和圆x2+y2﹣6y+8=0相切，则该双曲线的离心率等于(

)A． B．2 C．3 D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线方程得到它的渐近线方程为bx±ay=0，因为渐近线与圆x2+（y﹣3）2=1相切，故圆心到直线的距离等于半径，用点到直线的距离公式列式，化简得c=3a，可得该双曲线离心率．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0又∵渐近线与圆x2+（y﹣3）2=1相切，∴点（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于半径1，即=1，解之得c=3a，可得双曲线离心率为e==3，故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的基本概念等知识，属于中档题．10.已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（

）.A.21

B.20

C.19

D.18参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.两条平行直线之间的距离是

；参考答案：12.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为_________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人.（若，则，参考答案：0.16；

10人.【分析】根据已知，结合已知数据，可求出学生成绩不超过82.5分的概率，求出，进而求出学生总人数，再由，即可求解.【详解】，，成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，高三考生总人数有人，，本次考试数学成绩特别优秀的大约有人.故答案为:0.16；10人.【点睛】本题考查正态分布曲线的性质及应用，运用概率估计实际问题，属于中档题.13.某展室有9个展台，现有件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；参考答案：60略14.已知F1、F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=900，ΔF1PF2三边长成等差数列，则双曲线的离心率为

.参考答案：515.已知若有最小值，则实数a的取值范围是_____参考答案：【分析】讨论＞1，0＜＜1，结合指数函数的单调性，绝对值函数的单调性和最值的求法，可得的范围．【详解】当＞1时，x≤1时，f（x）＝+在上递增，则f（x）∈（，2]，x＞1时，f（x）＝|x﹣|+1≥1，当x＝时取得最小值1，则f（x）的值域为[1，+∞），可得＞1时f（x）取得最小值1；当0＜＜1时，x≤1时，f（x）＝+在上递减，则f（x）∈[2，+∞）；x＞1时，f（x）＝|x﹣|+1＝x﹣+1递增，可得f（x）＞2﹣，若f（x）存在最小值，可得2﹣≥2，即≤，可得0＜≤．综上可得＞1或0＜≤．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的运用，考查分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性和含绝对值的函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．16.下表是一个容量为60的样本（60名学生的数学考试成绩，成绩为0﹣100的整数）的频率分布表，则表中频率a的值为

．分组0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5～100.5频数3612

频率

a0.3参考答案：0.35【考点】频率分布表．【专题】对应思想；分析法；概率与统计．【分析】根据频率=以及频率和为1，即可求出a的值．【解答】解：根据题意，填写表中数据，如下；成绩在0.5～20.5内的频率是=0.05，成绩在20.5～40.5内的频率是=0.10，成绩在40.5～60.5内的频率是=0.20，∴成绩在60.5～80.5内的频率是1﹣（0.05+0.10+0.20+0.30）=0.35；∴a的值是0.35．故答案为：0.35．【点评】本题考查了频率、频数与样本容量的计算问题，是基础题目．17.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生。参考答案：37略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）a=时，函数为，f在[1，+∞）上为增函数，故可求得函数f（x）的最小值（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围【解答】解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=．…（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3，即实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．…【点评】本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略．19.（本题满分12分）如图，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M.平行于OM的直线在轴上的截距为并交椭圆C于A、B两个不同点.

（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的取值范围；y

（3）求证：直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.参考答案：解：（1）设椭圆C的标准方程为

（＞＞0）

由题意

解得

C的方程为

………………4分

（2）

设：由消去得

直线与椭圆有两个不同的交点

式有两个不等实根

则＞0

解得＜＜2

又

的取值范围为

………………8分

（3）设，则、为（）式的两根，设MA交轴于点P，MB交轴于点Q

MA的方程为：

令，可得P（）=

同理可得Q

设PQ的中点为N，则

由②知

又

MPQ的中线MNPQ

MPQ为等腰三角形

………………12分20.（本小题满分13分）设。（1）求的值；（2）归纳{}的通项公式，并用数学归纳法证明。参考答案：解：（1）…4分

（2）根据计算结果，可以归纳出

………..6分

证明：①当n=1时,与已知相符，归纳出的公式成立。……8分

②假设当n=k()时，公式成立，即那么,

所以，当n=k+1时公式也成立。…12分

由①②知，时，有成立。……….13分略21.设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[－1，e－1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）已知f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）求出函数的导数f′（x），然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；（Ⅱ）由题意当时，不等式f（x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，从而求出实数m的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，整理移项得方程g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，利用函数的增减性得根，于是有，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．∵，由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0．∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（﹣1，0）．（Ⅱ）∵由，得x=0，x=﹣2（舍去）由（Ⅰ）知f（x）在上递减，在[0，e﹣1]上递增．高三数学（理科）答案第3页（共6页）又，f（e﹣1）=e2﹣2，且．∴当时，f（x）的最大值为e2﹣2．故当m＞e2﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．（Ⅲ）方程f（x）=x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．记g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），∵，由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．为使方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，∴实数a的取值范围是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．22.（本小题满分12分）2009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.

（I）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费）为f(n)，求f(n)的表达式；

（II）这种汽车使用多少报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？参考答案：解析：（I）由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为

（万元）

…………3分

所以

（万元）

…………6分