初中数学一次函数综合复习讲义(含习题答案)

PAGEPAGE20初中数学一次函数综合复习讲义（含习题答案）一．基础知识1、一次函数的概念:若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。2、一次函数的图象及其性质：（1）、图象：一次函数的图象是一条直线，所以画图象时只要先确定两点，再过这两点画一条直线就可以画出一次函数的图象。（2）、性质：正比例函数一次函数表达式y=kx(k≠0)y=kx+b(k≠0)k>0k<0k>0k<0图象性质1．图象是经过原点与第一、三象限的直线；2．函数y的值随x的增大而增大.1．图象是经过原点与第二、四象限的直线；2．函数y的值随x的增大而减小.函数y的值随x的增大而增大.函数y的值随x的增大而减小.一次函数的图象与k,b的关系如下图所示：y=kx+bk>0K<0b>0b<03、函数表达式的确定：常用方法是待定系数法，一次函数y=kx+b中含有两个待定系数k、b，根据待定系数法，只要列出方程组即可.4、一次函数的应用：（1）、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。一元一次方程的解就是一次函数与x轴的交点坐标的横坐标的值。二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。（2）、一次函数与不等式的关系：可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。二．经典例题例1：（1）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A、a＞b＞c B、c＞b＞aC、b＞a＞cD、b＞c＞a解：由正比例函数图像的性质可得：答案：C（2）一次函数y=x+1的图象，不经过的象限是（）。（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解：由一次函数y=kx+b的图象性质，有以下结论：题目中y=x+1，k=1>0，则函数图象必过一、三象限；b=1>0，则直线和y轴交于正半轴，可以判定直线位置，也可以画草图，或取两个点画草图判断，图像不过第四象限。答案：D。例2、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x的关系。解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例如y=2x，y=2x+3的图象平行。解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，∴k=-4，∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，∴b=18，∴y=-4x+18。说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0，b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。解：∵点B到x轴的距离为2，∴点B的坐标为（0，±2），设直线的解析式为y=kx±2,∵直线过点A（-4，0），∴0=-4k±2,解得：k=±1∴直线AB的解析式为y=12x+2或y=-1说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。（1）图象是直线的函数是一次函数；（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，yB）；（3）点B到x轴距离为2，则|yB|=2；（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=yB；（5）已知直线与y轴交点的纵坐标yB，可设y=kx+yB；下面只需待定k即可。例5．已知一次函数y1=(n-2)x+n的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断y2=(3-n)x+2是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。解：依题意，得解得n=-1，∴y1=-3x-1,y2=(3-n)x+2,y2一次函数；y1=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，y1随x的增大而减小；y2=(3-n)x+2的图象经过第一、二、三象限，y2随x的增大而增大。说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。例6、解：．三、适时训练（一）精心选一选1、若把一次函数y=2x－3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是(

)

(A)y=2x

(B)

y=2x－6

（C）

y=5x－3

（D）y=－x－32、下面函数图象不经过第二象限的为

（

）

(A)

y=3x+2

(B)

y=3x－2

(C)

y=－3x+2

(D)

y=－3x－2

3、已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则的值是(

)(A)4

(B)-2

(C)2

(D)-44、若一次函数y=kx+b的图象经过点(-2，-1)和点(1，2)，则这个函数的图象不经过()A、第一象限；B、第二象限；C、第三象限；D、第四象限5、下列说法正确的是（）A、正比例函数是一次函数；B、一次函数是正比例函数；C、正比例函数不是一次函数;；D、不是正比例函数就不是一次函数。6、若一次函数y=mx+１与y=nx－２的图象交于x轴上一点，则m：n=()、A、1：2；B、－1：2；C、2：1；D、－2：17、如果一次函数y=kx+(k－1)的图像经过第一、三、四象限，则k的取值范围是()、A、k＞0；B、k＜0；C、0＜k＜1；D、k＞18、函数Y=4x－2与y=－4x－2的交点坐标为（）A、（－2，0）；B、（0，－2）；C、（0，2）；D、（2，0）9、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于（）．A．6B．12C．3D．2410、已知关于x的一次函数y=mx+2m-7在上的函数值总是正的，则m的取值范围（）A、B、C、D、以上都不对11、一次函数的图象经过点A（-2，-1），且与直线y=2x-3平行，则此函数的解析式为（）A．y=x+1B．y=2x+3C．y=2x-1D．y=-2x-512、若点（－4，y1），（2，y2）都在直线y=上，则y1与y2的大小关系是 （）A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1<y2 D．（二）细心填一填1、若一次函数y=（2-m）x+m的图像经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______．2、在函数y=（m+6）x+（m-2）中，当_______时是一次函数．3、已知点A（m，1）在直线y=2x-1上，则m=_________．4、一次函数y=3x+m-1的图像不经过第二象限，则m的取值范围是________．5、已知一次函数y=-kx+5，如果点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在函数的图像上，且当x1<x2时，有y1<y2成立，那么系数k的取值范围是________．6、已知直线y=kx+b和直线y=-3x平行，且过点（0，-2），则此直线与x轴的交点为________．7、直线y=-x+a与直线y=x+b的交点坐标是（m，8），则a+b=________．8、若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=_______．9、点M（-2，k）在直线y=2x+1上，M到x轴的距离d=_______．10、函数y=－2x＋4的图象经过___________象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_________11、一次函数y=kx＋b的图象经过点（1，5），交y轴的点到原点距离为3，则k=____，b=____12、若函数y=4x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为8，那么b=_____13、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，如果每枝钢笔5元，每个笔记本2元，那么小明最多能买_____枝钢笔。（三）认真答一答1、我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了ymL水.（1）试写出y与x之间的函数关系式；（2）当滴了1620mL水时，小明离开水龙头几小时？2、一报亭从报社订购某晚报的价格是每份0．7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0．2元的价格退回报社，在一个月内（以30天计算）有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x，每月所获利润为y（元）．（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？3、拖拉机耕地时，每小时的耗油量假定是个常量，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．（1）写出油箱中余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式；（2）画出函数图象；（3）这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时？(分析)由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象（在自变量取值范围内）.4、利用图象解二元一次方程组5、如图11－55所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为A（2，0），且OA=OB，试求一次函数的解析式.6、在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图11－56所示，能否用函数关系式表示这段记录？7、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售可获利15%，并可用本利和再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付仓储费用700元，问他如何销售获利较多？8、已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A（-3，-2）及点B(1，6),求此函数关系式，并作出函数图象.9、科学家通过研究得出：一定质量的某种气体在体积不变的情况下，压强p(kPa)随温度t(℃)变化的函数关系式是p=kt+b，其图象如图11－58所示的直线.（1）根据图象求出上述气体的压强P与温度t之间的函数关系式；（2）当压强p为200kPa时，求上述气体的温度.10、已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求当x=-1时的函数值.11、某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国营出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图象（两条射线）如图11-61所示，观察图象，回答下列问题.（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？（3）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（4）如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么，这个单位租哪家的车合算？12、已知A地在B地的正南方向3km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直线前进，他们到A地的距离s（km）与所用时间t（h）之间的函数关系的图象如图11－62所示，当他们走了3h的时候，他们之间的距离是多少千米？13、哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）。若一个内通话时间为x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元。（1）写出y1，y2与x的关系式；（2）一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？（3）当通话时间在什么范围内时，使用“全球通”的通讯方式便宜？14、如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动过程中路程与时间之比的函数关系图像。试根据图像回答下列问题：（1）如果甲、乙二人均沿同一方向在同一直线上行进，出发时乙在甲前面多少米处？（2）如果甲、乙二人所行路程记为s甲，s乙，试写处s甲与t及s乙与t的关系式；（3）在什么时间段内甲走在乙的前面？在什么时间段内甲走在乙的后面，在什么时间甲乙二人相遇？15、如图1，在直角坐标系中，已知点A（6，0），又点B（x，y）在第一象限内，且x+y=8，设△AOB的面积是S．（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）画出图象．（1）(2)16、小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x>10）的关系式，它们都是正比例函数吗？（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？17、已知等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC的长为ycm，腰AB的长为xcm，试求y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．18、已知一次函数y=（m-2）x+m2-6的图像与y轴相交，交点的纵坐标是-2，求m的值．19、某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数解析式．（2）一箱油可供拖位机工作几小时？20、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（km）与所用的时间x（h）之间关系的函数图像．（1）根据图像回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发2．5h离家多远．（3）求小明出发多长时间距家12km．21、已知直线m与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线m的函数关系式．22、已知一次函数的图象经过点A（-3，2）、B（1，6）．①求此函数的解析式，并画出图象．②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积．23、某一次函数的图象与直线y=6-x交于点A（5，k），且与直线y=2x-3无交点，求此函数的关系式．24、在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体的质量x（kg）的一次函数，当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长10cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长12cm．写出y与x之间的函数关系，并求出所挂物体的质量为6kg时弹簧的长度．25、A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．（1）设B市运往C市机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式．（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？练习题答案：一、选择题1、A2、B3、B4、C5、A6、B7、C8、B9、A10、A11、B12、A二、填空题1、解析：∵一次函数的图像经过一、二、四象限，∴即∴m>2．答案：m>2.2、解析：∵y=（m+6）x+（m-2）是一次函数，∴m+6≠0，m≠-6．答案：m≠-63、解析：把y=1代入y=2x-1，得1=2x-1，2x=2，x=1，即m=1．答案：1提示：若点在函数的图像上，则点的坐标满足函数的关系式．4、解析：∵y=3x+m-1的图像不经过第二象限，∴m-1<0，即m<1．答案：m<15、解析：∵当x1<x2时，y1<y2，∴y的值随x的增大而增大，∴-k>0，即k<0．答案：k<06、解析：∵y=kx+b与y=-3x平行，∴k=-3，∴y=-3x+b．把x=0，y=-2代入，得b=-2，∴直线y=kx+b的关系式为y=-3x-2．令y=0，则0=-3x-2，3x=-2，x=-，∴该函数与x轴的交点为（-，0）答案：（－，0）提示：要确定函数与坐标轴的交点坐标，首先要求出函数关系式．7、解析：∵y=-x+a与y=x+b的交点坐标为（m，8），∴（m，8）应满足这两个关系式．①②把x=m，y=8分别代入y=-x+a，y=x+b，得①②①+②得a+b=16．答案：168、解析：直线与x轴、y轴的交点为（-，0），（0，b）∴9=×|-|×│b│=，∴b=±6．9、解析：∵点M在直线y=2x+1上，∴当x=-2时，y=-4+1=-3，即k=-3，∴M到x轴的距离d=│k│=3．答案：310、一，二，四象限11、k=2,b-312、+8或-813、13只钢笔三、解答题1、（分析）已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时=3600秒，∴1小时滴水3600×2滴，又∵每滴水约0.05mL，∴每小时约滴水3600×2×0.05＝360mL.解：（1）y与x之间的函数关系式为x=360x(x≥0).（2）当y=1620时，有360x=1620，∴x=4.5.答：当滴了1620mL水时，小明离开水龙头4.5小时.2、（分析）一次函数与不等关系（1）先确定x的取值范围，60≤x≤100，且x是正整数，然后列出函数表达式．（2）利用一次函数的性质求出最大利润．解：（1）若报亭每天从报社订购晚报x份，则x应满足60≤x≤100，且x是正整数．则每月共销售（20x＋10×60）份，退回报社10（x-60）份．又因为卖出的报纸每份获利0．3元，退回的报纸每份亏损0．5元，所以每月获得的利润为，y=0．3(2Ox十10×6O)一0.5×1O(x-6O)=x十48O．自变量x的取值范围是60≤x≤100，且x是正整数．（2）∵当60≤x≤100时，y随x的增大而增大，∴当x=100时，y有最大值．y最大值=100＋480=580（元）．∴报亭应该从报社订购100份报纸，才能使每月获得的利润最大，最大利润是580元．3、解：（1）设函数关系式为Q=kt+b(k≠0).由题意可知，∴余油量Q与时间t之间的函数关系式是Q=-6t+40.∵40-6t≥0,∴t≤.∴自变量t的取值范围是0≤t≤.（2）当t=0时，Q=40；当t=时，Q=0.得到点(0，40),(,0).连接两点，得出函数Q=-6t+40(0≤t≤)的图象，如图11-53所示.（3）当Q=0时，t=，那么=6(时).6-3=3（时）∴拖拉机还能耕地3小时，即3小时40分.运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的.4、（分析）方程组中的两个方程均为关于x,y的二元一次方程，可以转化为y关于x的函数.由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，实质上是两个y关于x的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解.解：由①得y=2x-2，由②得y=-x-5.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2，y=-x-5的图象如图11-54所示.观察图象可知，直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是(-1，-4).∴原方程组的解是小结:解方程组通常用消元法.但如果把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解.5、（分析）通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B点的坐标即可，因为OB=OA=2，所以点B的坐标为（0，-2），再结合A点坐标，即可求出一次函数的关系式.解：设一次函数的关系式为y=kx+b(k,b为常数，且k≠0).∵OA=OB，点A的坐标为(2，0),∴点B的坐标为(0，-2).∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b，∴∴∴一次函数的关系式为y=x-2.【说明】利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用.6、（分析）根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论.电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度υ(m/s)之间的关系，在10s内，赛车的速度从0加速到7.5m/s，又减至0，因此要注意时间对速度的影响.解：观察图象可知，当t在0～1s内时，速度υ与时间t是正比例函数关系，υ=7.5t（0≤t≤1）；当t在1～8s内时，速度υ保持不变，υ=7.5（1＜t≤8）；当t在8～10s内时，速度υ与时间t是一次函数关系，υ=-3.75t+37.5（8＜t≤10）.7、（分析）两种方式获利多少与投入资金有关，需要分类讨论，题中的三个百分比是对投资来讲的，设该商场投入资金x元，则按不同方式销售的获利情况：月初出售共获利15%x+(x+15%x)·1O%；月末出售共获利3O%x-700.然后比较两种销售方式获利的多少.解：设商场计划投资x元，在月初出售共获利y1元，在月末出售共获利y2元，根据题意，得y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x，y2=30%x-700=0.3x-700.∴y1-y2=0.265x-(0.3x-700)=700-0.035x.①当y1-y2=0时，有700-0.035x=0，∴x=20000.∵当x=20000时，两种销售方式获利一样多.②当y1-y2＞0时，有700-0.035x＞0，∴x＜20000.∴当x＜20000时，y1＞y2.即月初出售获利较多.③当y1-y2＜0时，有700-0.035x＜0，∴x＞20000.∴当x＞20000时，y1＜y2.即月末出售获利较多.【说明】进行有关问题的分类讨论，要全面考察，可根据图形或题意找出所有可能的情况，然后进行总结.8、(分析)可将由已知条件给出的坐标分别代入y=kx+b中，通过解方程组求出k，b的值，从而确定函数关系式.解：由题意可知，∴函数关系式为y=2x+4.图象如图11－57所示.【说明】一次函数y=kx+b中含有两个待定系数k,b，根据待定系数法，只要列出方程组即可.9、(分析)要求出p与t之间的函数关系式，需知图象上的两个点的坐标，由图象可知，点（25，110）,(50，120)在该图象上，通过解方程组可得关系式.解：（1）观察图象可知，点(25，110),(50，120)在该图象上.∴函数关系式为p=t+100.（2）当p=200时，有200=t+100，∴t=250.∴当压强P为200kPa时，气体的温度是250℃.10、解：（1）∵y+5与3x+4成正比例，∴设y+5＝k（3x+4）（k≠0）．又∵当x=1时，y=2，∴2+5＝＝k（3×1+4），∴k＝1．∴y+5＝1（3x+4），∴y＝3x-1．即y与x之间的函数关系式是y=3x-1．(2)当x=-1时，y＝3×（-1）-1=-4．∴当x=-1时的函数值是-4．11、解：由图象可知，（1）设y1＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0），y2=k2x（k2≠0）．∴y1，y2都经过点（1000，2000），∴2000＝1000k2，∴k2＝2．∴∴y1=x+1000，y2=2x（x≥0）.（2）当y2﹤y1时，有2x＜x+1000，∴x＜1000．∴每月行驶的路程在0km≤x﹤1000km时，租国营公司的车合算．（3）当y2＝y1时，有2x=x+1000，∴x＝1000．∴每月行驶的路程等于1000km时，租两家车的费用相同．（4）当y2＞y1时，有2x＞x+1000，∴x＞1000．∴每月行驶的路程大于1000km时，租个体车比较合算．∴当x=2300km时，这个单位租个体车比较合算.12、解：设AC的表达式为y=kx（k≠0），BD的表达式为y=k1x+3（k1≠0），令P点坐标为（2，2k），又此点坐标满足BD的表达式，∴2k=2k1+3，∴∴BD的表达式为当x=3时，甲距A地的距离为3kkm，乙距A地的距离为（×3+3）km，∴3k-（×3+3）=(km).13、解：（1）y1＝50＋0.4x，y2＝0.6x；（2）当y1＝y2，即50＋0.4x＝0.6x时，x＝250（分钟），即当通话时间为250分钟时，两种通讯方式的费用相同；（3）由y1＜y2即50＋0.4x＜0.6x，知x＞250，即通话时间超过250分钟时用“全球通”的通讯方式便宜。14、（1）乙在甲前面12米；（2）s甲＝8t，s乙＝12＋t；