广东省佛山市南边中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

广东省佛山市南边中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是A．且则B．且，则C．则D．则参考答案：B根据面面垂直的性质和判断可知B正确。2.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2），则它的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：C【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【详解】∵渐近线的方程是y=±x，根据对称性，图象也过∴2=?4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：C．

3.点为圆内一条弦的中点，则直线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由已知圆的圆心C（1，0），因为点为圆内一条弦的中点，所以CP⊥AB。因为，所以，肯定选C了，不用再考虑了，故选择C。4.记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则当∠APB的最大时，cos∠APB为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最大时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D，如图所示，要使∠APB最大，则∠OPB最大，∵sin∠OPB==，∴只要OP最小即可．则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|===2，|OA|=1，设∠APB=α，则∠APO=，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．5.函数的零点所在区间是（

）A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)参考答案：A6.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：A7.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．

B．

C．

D．

参考答案：C由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.8.若点（4，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则2cos2θ=(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再根据同角三角函数的基本关系求得2cos2θ=的值．【解答】解：∵点（4，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴log24=tanθ，求得tanθ=2，∴2cos2θ====，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.，若在上恒成立，实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为A. B.2 C.3 D.4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于函数），有下列命题： ①其图象关于y轴对称；②当时是增函数；当时是减函数； ③的最小值是④在区间上是增函数，其中所有正确结论的序号是

。参考答案：12.设圆锥的母线长为l,底面半径为r,满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种,则

．参考答案：13.（文）已知公差为等差数列满足,且是的等比中项。记,则对任意的正整数均有,则公差的取值范围是

参考答案：14.我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：

日相逢？参考答案：9由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列，设路程为，由题意有：，故：，满足题意时，数列的前n项和为，由等差数列前n项和公式可得：，解得：.即二马相逢，需9日相逢

15.设F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．【解答】解：F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．16.若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m的取值范围是__________．参考答案：略17.设A为曲线M上任意一点，B为曲线N上任意一点，若|AB|的最小值存在且为d，则称d为曲线M，N之间的距离．（1）若曲线M：y=ex（e为自然对数的底数），曲线N：y=x，则曲线M，N之间的距离为

；（2）若曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，则曲线M，N之间的距离为

．参考答案：（1）（2）。考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．专题：导数的综合应用；直线与圆．分析：（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．利用导数的几何意义可得切点P（0，1），代入y=x+t，解得t=1．可得切线方程为y=x+1．即可得出曲线M，N之间的距离．（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=﹣x对称．设与直线：y=﹣x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），利用导数的几何意义可得切点，利用平行线之间的距离公式即可得出．解答： 解：（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．∵y′=ex，∴，∴x0=0．∴y0=1．∴切点P（0，1），∴1=0+t，解得t=1．∴切线方程为y=x+1．∴曲线M，N之间的距离==．（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=﹣x对称．设与直线：y=﹣x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），由曲线N：x2+1+y=0，y′=﹣2x，令﹣2x=﹣1，解得x=，y=﹣．切点P到直线y=﹣x的距离d==．∴曲线M，N之间的距离为．故答案为：，．点评：本题考查了利用导数的几何意义可得切线的斜率、两条平行线之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为.（1）求直线l的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点P，Q，求的取值范围.参考答案：(1)直线的极坐标方程为：.的直角坐标方程为.(2)【分析】（1）由直线的参数方程可知，直线过原点且倾斜角直线的为的直线，由此可表示出直线的极坐标；利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到曲线的直角坐标方程；（2）点的极坐标分别为，得到|PQ|

，再利用三角函数的性质求出的取值范围。【详解】解：（1）因为直线的参数方程为（其中为参数），所以直线表示过原点且倾斜角直线的为的直线，则其极坐标方程为：.曲线的极坐标方程可化为，即，因此曲线的直角坐标方程为.（2）设点的极坐标分别为，则因为，即，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标下两点间的距离的求法和最值得求解，考查三角恒等变换和三角函数在区间上的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力。19.（13分）数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1﹣an（n∈N+）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．（3）设bn=（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N+，都有Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出；（2）对an≥0，an＜0，讨论，再利用等差数列的前n项和公式即可；（3）利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵数列{an}满足an+2=2an+1﹣an（n∈N+），∴数列{an}是等差数列，公差为d．∵a1=8，a4=2，∴2=8+3d，解得d=﹣2．∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n．（2）设数列{an}的前n项和为An，则An==n（9﹣n）．令an≥0，解出n≤5．∴当n≤5时，Sn=An=n（9﹣n），当n≥6时，Sn=A5﹣a6﹣a6﹣…﹣an=2A5﹣An=2×5×（9﹣5）﹣n（9﹣n）=n2﹣9n+40．∴Sn=．（3）证明：bn===，∴数列{bn}的前n项和Tn=+++…++=＜．∴对于任意的n∈N+，都有Tn＜．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（本题满分13分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设,讨论的单调性;(Ⅲ)已知且,证明:参考答案：【知识点】导数的几何意义；导数的应用；不等式的证明.

B11

B12

E7（Ⅰ）1；(Ⅱ)在区间和都是单调递增的，此函数无减区间；(Ⅲ)证明：见解析.

解析：（Ⅰ）

所以……1分由题意,得……3分(Ⅱ)，所以……4分设当时，，是增函数，，所以，故在上为增函数；

……………5分当时，，是减函数，，所以，故在上为增函数；所以在区间和都是单调递增的。

……………8分(Ⅲ)因为，由（Ⅱ）知成立，即，………9分从而，即………12分

所以。………13分【思路点拨】（Ⅰ）、由导数的几何意义得，解得m值；(Ⅱ)、定义域上导函数大于零的x范围是增区间，导函数小于零的x范围是减区间；(Ⅲ)、由(Ⅱ)知在上单调递增，而，所以，即.【典例剖析】综合法是证明不等式的常用方法，但寻找推证不等式的基础不等式比较困难.本题第(Ⅲ)问的证明，采用了第(Ⅱ)问的结论：函数在上单调递增，从而得，由此变形、拆项，再用对数函数的性质证得结论,总的来说这是一个较典型的考题.21.（13分）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，右准线与一条渐近线的交点坐标为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过右焦点的直线(不与x轴重合)与双曲线交于两点，且直线、分别交双曲线的右准线于、两点，求证：为定值．参考答案：

解析：（Ⅰ）双曲线的右准线为，渐近线为.因为右准线与一条渐近线的交点坐标为，所以解得．于是，双曲线的方程为．

………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点的坐标分别为，右准线为．当直线斜率不存在时，点的坐标分别为，则直线方程分别为，令，得的坐标分别为，此时．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得．因为直线与双曲线交于两点，所以，，解得．设两点坐标分别为，则，．则直线方程分别为，令，得的坐标分别为，所以