广东省佛山市三水第三高级中学高三数学文上学期期末试题含解析

广东省佛山市三水第三高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（是虚数单位）化简的结果是A.1

B.

-1

C.

D.–参考答案：B2.已知单位圆与轴的正半轴相交于点，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，过点作直线垂直于轴于点，则有向线段表示的函数值是

(

)

参考答案：D3.在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D4.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题正确的是

（

）

A．异面直线SB与AC所成的角是90°

B．平面SAB

C．平面SAC

D．平面平面SAB参考答案：C略5.已知复数，则复数z的模｜z｜＝（A）（B）（C）（D）参考答案：D6.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___D____A.9

B.10

C.12

D.13参考答案：Dn=a+b+c=13.选D7.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1参考答案：B9.下列命题中，真命题的个数有 ①； ②； ③“”是“”的充要条件； ④是奇函数. （A）1个 （B）2个（C）3个（D）4个参考答案：C略10.设是直线，a，β是两个不同的平面A.若∥a，∥β，则a∥β

B.若∥a，⊥β，则a⊥βC.若a⊥β，⊥a，则⊥β

D.若a⊥β,∥a，则⊥β参考答案：B根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若,y满足，则2y?的最小值是_________.参考答案：3分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即满足条件的x，y在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为3.

12.如图是一个几何体的三视图．若它的表面积为7π，则正（主）视图中a=．参考答案：2略13.已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），an=（n∈N*），bn=（n∈N*），考查下列结论：①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．以上命题正确的是．参考答案：②③④【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．【解答】解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，（2）令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，（3）若，则an﹣an﹣1=﹣===为常数，故数列{an}为等差数列，故③正确，④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），∴当x=y时，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），则f（22）=4f（2）=8=2×22，f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23，…则f（2n）=n×2n，若，则====2为常数，则数列{bn}为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键．14.函数的反函数为，则

.参考答案：答案：

15.双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离为1列式，再结合隐含条件求解．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），即双曲线的右焦点坐标为F（2，0），双曲线的渐近线方程为．不妨取y=，化为一般式：bx﹣ay=0．则，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，联立解得：a2=3，∴a=．则双曲线的实轴长为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．16.设O、A、B、C是平面上四点，且，，则______________。参考答案：17.如图，点M为扇形的弧的四等分点即，动点分别在线段上，且若，，则的最小是

．参考答案：连结OM，设OC=a，则OD=1-a由余弦定理可得：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角的对边分别为，已知，且成等比数列。（I）求+的值；（II）若，求的值。参考答案：（1）∵成等比数列，∴，由正弦定理得,……3分∴

．……7分（2）由得，∵,∴，∴，∴,……10分由余弦定理得,∴，即,∴，

∴……………14分

略19.（本小题满分13分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．（Ⅰ）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．参考答案：（17）（本小题满分13分）方法一：（Ⅰ）证明：如图①，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.………5分图①图②（Ⅱ）如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．同理可证四边形PQMN也是等腰梯形．分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN知四边形EFNM是平行四边形．连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝，故存在λ＝，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．……13分方法二：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．

图③(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．…………2分（Ⅰ）证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.………6分（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝.故存在λ＝，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．………13分20.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，点(n，Sn)都在函数f(x)＝2x2－x的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，且数列{bn}是等差数列，求非零常数p的值；(3)设cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.参考答案：(1)由已知，对所有n∈N*，Sn＝2n2－n，所以当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，因为a1也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3(n∈N*)．(2)由已知bn＝，因为{bn}是等差数列，可设bn＝an＋b(a、b为常数)，所以＝an＋b，于是2n2－n＝an2＋(ap＋b)n＋bp，所以因为p≠0，所以b＝0，p＝－．(3)cn＝＝(－)，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)．由Tn<，得m>10(1－)．因为1－<1，所以m≥10.所以，所求的最小正整数m的值为10.21.已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x﹣2．数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有的（n∈N*）都成立的最小正整数m．参考答案：【考点】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）依题意可设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），求出导数，可得a=3，b=﹣2，可得Sn=3n2﹣2n，再由数列的通项与求和关系，即可得到所求通项公式；（2）求得==（﹣），运用裂项相消求和可得Tn，再由恒成立思想即可解得m的范围，进而得到最小正整数．【解答】解：（1）依题意可设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），则f′（x）=2ax+b，由f′（x）=6x﹣2，可得a=3，b=﹣2，则f（x）=3x2﹣2x点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．即有Sn=3n2﹣2n，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）=6n﹣5；当n=1时，a1=S1=1也适合，则an=6n﹣5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知==（﹣）故Tn=