广东省云浮市罗镜第三高级中学2023年高三数学理联考试题含解析

广东省云浮市罗镜第三高级中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为(A)

(B)

(C)或

(D)或参考答案：A2.（5分）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④参考答案：C【考点】：平行投影及平行投影作图法．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C【点评】：本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．3.若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有A．1条

B．2条

C．3条

D．4条参考答案：C略4.在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（

）A．4

B．5

C.6

D．7参考答案：B5.已知双曲线的焦距为，抛物线与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是(

)A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．7.下列命题中，真命题的个数有 ①； ②； ③“”是“”的充要条件； ④是奇函数. （A）1个 （B）2个（C）3个（D）4个参考答案：C略8.已知奇函数f（x）满足f（－1）＝f（3）＝0，在区间－2，0）上是减函数，在区间2，＋∞）是增函数，函数F（x）＝，则｛x｜F（x）>0｝＝(

)A．{x｜x＜－3，或0<x<2，或x>3}B．{x｜x<－3，或－1<x<0，或0<x<1，或x>3}C．{x｜－3<x＜－1，或1<x＜3}D．{x｜x＜－3，或0<x＜1，或1<x＜2，或2<x＜3}参考答案：C9.已知全集,集合，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：【知识点】补集及其运算．A1A

解析：根据补集的定义，?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有0，4符合元素的条件．?UA={0，4}，故选A．【思路点拨】根据补集的定义直接求解：?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．10.函数在的图像大致为（

）A. B.C.

D.参考答案：D【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断.【详解】解：因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，，，，故排除、,故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、，且，，

．参考答案：12.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为

．

参考答案：解：SA=SB=SC=2，TS在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．∵SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．SM=1，∴SO=，∴OH=，即为O与平面ABC的距离．15.当时，有如下表达式：

两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

参考答案：14.已知N，且，CC，则可推出CCCCCCCCC，由此，可推出CCCCC

．参考答案：试题分析：．考点：推理与证明．15.已知函数f(x)=，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为

．参考答案：[﹣20，﹣16]【考点】分段函数的应用．【分析】因为y=sinx

（x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有3个交点即可，【解答】解：因为y=sinx

（x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1），g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=2（x﹣2）（x﹣4），当x∈（1，2），（4，+∞）时g（x）单调递增，当x∈（2，4）时g（x）单调递减，依题意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有3个交点即可，及g（1）=16+a≤0，g（2）=20+a≥0，∴﹣20≤a≤﹣16．故答案为[﹣20，﹣16]【点评】题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题．16.定义域为的函数满足，当时，

，若时，恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：-1≤t≤317.若实数，则的取值范围为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（1）求函数在上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有＞成立.参考答案：（1），当＜0，单调递减，当，＞0，单调递增.①0＜t＜t+2＜，无解；②0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，；③＜t+2，即时，在上单调递增，；＜t＜所以

.（2），则，设＞0），则，＜0，单调递减，＞0，单调递增，所以因为对一切恒成立，所以；（3）问题等价于证明＞，由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有＞成立略19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（Ⅰ）若，求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最小值．参考答案：由正弦定理，得．∴．∴（舍）．

（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中可得或．又时，，，即，矛盾．所以，，即．所以，即当时，的最小值是．

略20.已知点M到点的距离比它到直线距离小2（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，它们与（Ⅰ）中轨迹E分别交于点A，B及点C，D，且G，H分别是线段AB，CD的中点，求面积的最小值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）36【分析】（Ⅰ）可知点到点的距离与到直线距离相等，根据抛物线定义可得方程；（Ⅱ）设直线，与抛物线方程联立后利用韦达定理和中点坐标公式可求得点坐标，同理可求得点坐标；从而用表示出，根据两条直线互相垂直得到，代入三角形面积公式，利用基本不等式可求得面积的最小值.【详解】（Ⅰ）由题意知，点到点的距离与到直线距离相等由抛物线的定义知，轨迹是以为焦点，以直线为准线的物线轨迹的方程为：（Ⅱ）设直线联立得：设，则，

设直线.同理可得：，，易知直线的斜率存在且均不为，即：当且仅当时取等号面积的最小值为【点睛】本题考查根据抛物线的定义求解抛物线的方程、直线与抛物线综合应用中的三角形面积的最值求解问题.求解三角形面积最值的关键是能够结合韦达定理求得所需点的坐标和线段长，从而利用变量表示出三角形面积，利用基本不等式求得最值.21.如图，焦距为的椭圆的两个顶点分别为和，且与n，共线．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．参考答案：22.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量，，且(1)求角B的大小；(2)设f(x)＝cos＋sinωx

()，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调区间．参考答案：(1)由m∥n得，bcosC＝(2a－c)cosB，∴bcosC＋ccosB＝2acosB.由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，即sin(B＋C)＝2sinAcosB.

又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB.

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