立体几何动点问题

立体几何与平面解析几何的交汇问题在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看、空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在更习中的足够重视。一、动点轨迹问题这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。例1定点A和B都在平面a内，定点尸史二，C是夕内异于A和B的动点，且尸C'AC。那么，动点C在平面°内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点例2若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（）解：设二面角A—BC—D大小为6,作PRJL面BCD,R为垂足,PQ_LBC于Q,PT±AB于T,则NPQR=6,且由条件PT=PR二PQ・sin6,・・・尸又为小于1的常数，故轨迹图形应选（D）o二、几何体的截痕例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60。，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=nab,其中a,b为长、短半轴长）。故广告球的投影椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时Rb=R,a=cos60=2…离心率心）^投影面枳S=nab=R-k-2R=2nR2=18no三、动点与某点（面）的距离问题例4.正方体ABCO-ABCA中，棱长为故广告球的投影椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时Rb=R,a=cos60=2…离心率心）^投影面枳S=nab=R-k-2R=2nR2=18no三、动点与某点（面）的距离问题例4.正方体ABCO-ABCA中，棱长为a,E是他的中点,3在对角面8纥。1°上找一动点m,使AM+ME最小工二四、常见的轨迹问题（1）轨迹类型识别此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法.例5、（北京）平面a的斜线AB交a于点B,过定点A的动直线I与AB垂直，且交a于点c,则动点c的轨迹是0A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支【解析】直线I运动后形成的轨迹刚好为线段AB的垂面，由公理二易知点C刚好落在平面a与线段AB的垂面的交线上，所以动点C的轨迹是一条直线.选择A.总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可.例6、如图，在正方体ABCDAiBiCiDi中，若四边形AiBCDi内一动点P到ABi和BC的距离相等，则点P的轨迹为（）A.椭圆的一部分B.圆的一部分C.一条线段D.抛物线的一部分【解析】由于AB1平面ABCD11,连接0P,此即为点P到AB1的距离，由此，动点P到AB1和BC的距离相等转化为在平面内到定点（定直线外）的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹问题,符合抛物线的定义，所以本题选D.总结：立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及到动点的轨迹问题，优先考虑定义法.例7、（浙江）如图，AB是平面。的斜线段...，A为斜足，若点P在平面0内运动，使得4ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线【解析】考虑到三角形的面枳为定值，结合线段AB固定，易知动点P到线段AB的距离为定值，结合前文定义，在空间到定直线距离为定值的点的轨迹为以定直线为轴的圆柱面，可以得到P点在此圆柱面上，又点P在平面a内运动，所以点P在平面a与圆柱面的截线上，由于AB是平面a的斜线段...，所以平面a与圆柱面斜交，由命题1，可以得到动点P的轨迹是椭圆总结：“动中寻静”，充分挖掘不变量，是解决此类问题的关键，另外需注意圆柱面的生成过程.例8、如图，在矩形ABCD中，E为边AD上的动点，将4ABE沿着直线BE翻转成4ABE1,使平面ABE1_L平面ABCD,则点A1的轨迹是（）A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.以上都不是【解析】将4ABE沿着直线BE翻转成ABE1的过程中，AB1的长度始终是保持不变的，这样，点4在以B为球心，以AB为半径的球面上，所以点A1的形成轨迹为圆弧，选择B.AB总结:在空间，到定点的距离为定长的点的轨迹为球，球的概念生成的两个必要条件为定点与定长，解题时注意把控.例9、已知正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为1,点P是平面ABCD内的动点，若点P到直线A】Di的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线【解析】本题从几何的角度很难找到突破II,可以尝试从代数的角度处理：如图，建立直角坐标系xDy，设Pxy,,则Xy21lx化简可得：x2-y2=1,即动点P的轨迹所在的曲线为双曲线，选择B.总结：从几何角度不好入手时，可以尝试从代数的角度，利用解析法求解出相应轨迹（2）与轨迹相关的度量

与轨迹相关的度量，具体涉及到轨迹长度，轨迹面的面枳，轨迹体的体积，以及与轨迹相关的角度、距离、周长等.例10、在校长为1的正方体ABCDAiBCDi中，MN分别为AJ、AiBi的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长为.【解析】依照题意，只需过点M作直线BN的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点P的轨迹.D1分别取CC1、DD1中点G、H，易知BN平面AGHD，过M作平面AGHD的平行平面EFGH，点P所构成的轨迹即为四边形EFq/H,其周长与四边形AGHD的周长相等，所以点P所构成的轨迹的周长为25.总结：本题中面面的交线（截痕）即为动点P的轨迹，处理问题的关健抓住线面垂直，进行合理转化.例11.已知边长为1的正方体ABCD—AiBiCiDi，在正方体表面上距A为三一（在空间）的点的轨迹是正方体表面上的一条曲线，求这条曲线的长度。解：此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD-A1B1C1D1,各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成二类：ABCD,7T,故各段弧圆心角为万.二这条曲线长度为AA1DD1,AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为石，A1B1C1D1,B1BCC1,D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为7T,故各段弧圆心角为万.二这条曲线长度为7T2^/5万用_5席.汗63236例12、已知直线l_L平面0,垂足为0,在矩形中ABCD,AD=1,AB=2,若点A在I上移动，点B在平面0上移动，则O、D两点间距离的最大值为（Q2+1【解析】点A在I上移动，点B在平面0上移动过程中，AB的中点M到O点的距离始终保持不变，即AB的中点始终在以O为球心，1为半径的球面上.由此可以采用几何法处理，如图，连接OD、MO、MD,易知OM+MD>OD,所以OD的最大值为C本题亦可采用代数法求解，如图所示建立坐标系,

总结：利用几何法解决问题，关键抓住几何要素，本题中线段的中点在球面上是几何法解决问题的突破口.利用代数法解决问题时，选择合适的建系方案，尽可能的简化运算.例13（2015上海13校联考）直线m_L平面夕，垂足为O,正四面体ABCD的棱长是4.点C在平面0上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（2也+1）五、练习.如图，正方体ABCD-AiBiJDi的棱长为1,线段BM上有两个动点E,F,且EF=2,则下列结论中错误的个数是（）AC±BE.（2）若P为AAi上的一点，则P到平面BEF的距离为2.（3）三棱锥A-BEF的体积为定值.（4）在空间与DDi,AC,BiCi都相交的直线有无数条.⑸过CJ的中点与直线AJ所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.“、EF=—2.如图，正方体的8一44.2的棱长为1,线段纥°】上有两个动点瓦产，且=石，则下列结论中错误的是（）A.AC±BEB.石尸〃平面人8coC.三棱锥A—尸的体积为定值D.4AEF与ABEF的面积相等3•关于图中的正方体A8S-A4a下列说法正确的有：①P点在线段5。上运动，棱锥°一442体积不变；②尸点在线段50上运动，二面角「一旦.一“不变；③一个平面0截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面0截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面0截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面°在平面

A3。与平面6°G间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。4、如图,正方体488-的枝长为1,P为BC的中点,Q为线段CG上的动点，过点a,p,q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.0<CQ<-①当2时,s为四边形；CQ=-②当2时,s不为等腰梯形；31CQ=-rnC1R=_③当4时,s与优生的交点r满足3.3-<Cg<l④当4时,s为六边形；正⑤当c°=i时,s的面积为2.①⑤.在正方体ABC。—A与GR