泰勒展开式与洛朗展开式讲课稿

泰勒(tàilè)级数泰勒(tàilè)(Taylor)级数洛朗级数(jíshù)洛朗(Laurent)级数张红英张红英第一页，共41页。1.问题(wèntí)的引入§4.3泰勒(tàilè)(Taylor)级数2.泰勒级数展开(zhǎnkāi)定理3.简单初等函数的泰勒展开式4.小结第二页，共41页。一个幂级数的和函数在它的收敛(shōuliǎn)圆内部是一个解析函数。1.问题(wèntí)的引入问题:任一个解析函数(hánshù)能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.幂级数性质回顾：第三页，共41页。定理（泰勒(tàilè)级数展开定理）2.泰勒(Taylor)级数展开(zhǎnkāi)定理第四页，共41页。Dk代入(1)分析(fēnxī)：第五页，共41页。Dkz联合(liánhé)(I),(II)第六页，共41页。(*)式第七页，共41页。证明(zhèngmíng)：第八页，共41页。第九页，共41页。注：(2)

展开式的唯一性分析(fēnxī)：设f(z)用另外的方法展开为幂级数:第十页，共41页。直接(zhíjiē)法

间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代数(dàishù)运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开(zhǎnkāi)成Taylor级数的方法：第十一页，共41页。3.简单初等函数(hánshù)的泰勒展开式例1

解：直接(zhíjiē)法第十二页，共41页。间接(jiànjiē)法第十三页，共41页。例2把下列函数(hánshù)展开成z的幂级数:解：第十四页，共41页。(2)由幂级数逐项求导性质(xìngzhì)得：注:通过奇点判断收敛(shōuliǎn)范围。第十五页，共41页。4.小结(xiǎojié)：F(z)在z0点解析第十六页，共41页。1.引入§4.4罗朗(Laurent)级数(jíshù)2.双边(shuāngbiān)幂级数3.Laurent级数(jíshù)展开定理4.函数的Laurent级数展开式5小结第十七页，共41页。回顾(huígù)：f(z)在z0解析思考：若f(z)在z0点不解析(jiěxī)，但在圆环域:R1<z-z0<R2内解析(jiěxī)，那么，f(z)能否用级数表示呢？1.引入f(z)在z0的某一个(yīɡè)圆域z-z0<R内展开成z-z0的幂级数。第十八页，共41页。例：第十九页，共41页。由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2内解析(jiěxī),f(z)可以展开成含有负幂次项的级数,即第二十页，共41页。本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域(línyù)内的性质以及定义留数数和计算留数的基础。第二十一页，共41页。2.双边(shuāngbiān)幂级数---含有(hányǒu)负幂项的级数定义(dìngyì)形如---双边幂级数负幂项部分正幂项(包括常数项)部分第二十二页，共41页。是一幂级数，设收敛(shōuliǎn)半径为R2，收敛(shōuliǎn)域：z-z0=R2。收敛(shōuliǎn)域：第二十三页，共41页。z0R1R2z0R2R1第二十四页，共41页。注：(2)在圆环域的边界(biānjiè)z-z0=R1,z-z0=R2上,第二十五页，共41页。3.洛朗级数展开(zhǎnkāi)定理定理(dìnglǐ)第二十六页，共41页。(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的去心邻域内解析(jiěxī)，需要把f(z)展成洛朗（Laurent）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别(fēnbié)称为洛朗级数的解析部分和主要部分。第二十七页，共41页。(3)

展开式的唯一性一个在某一圆环域内解析(jiěxī)的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。分析(fēnxī)：Dz0R1R2c第二十八页，共41页。Dz0R1R2c第二十九页，共41页。由唯一性，将函数展开(zhǎnkāi)成Laurent级数，主要用间接法。例1解4函数(hánshù)的Laurent级数展开式第三十页，共41页。例2解例3解第三十一页，共41页。例4xyo12xyo12xyo12第三十二页，共41页。解:无奇点第三十三页，共41页。第三十四页，共41页。注意(zhùyì)首项第三十五页，共41页。解(1)在(最大的)去心邻域(línyù)例5yxo12第三十六页，共41页。(2)在(最大的)去心邻域(línyù)xo12练习(liànxí)：第三十七页，共41页。(1)Laurent级数(jíshù)与Taylor级数(jíshù)的不同点：Taylor级数(jíshù)先展开求收敛半径R,找出收敛域。Laurent级数(jíshù)先求f(z)的奇点，然后以z0为中心奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环域，在环域上展成级数(jíshù)。5小结(xiǎojié)第三十八页，共41页。(3)根据(gēnjù)区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。(1)对于无理函数及其它初等函数的洛朗展开式，可以利用已知基本初等函数的泰勒展开式，经过代换(dàihuàn)、逐次求导、逐次积分等计算获得。(4)