新误差理论讲课

测量与误差一~1测量一~1.1直接测量？一~1.2间接测量？一~2测量误差~2.1测量误差=测量值一真值（绝对误差）2.2相对误差=测量误差/真值2.3百分误差=（测量值一公认值）/公认值~3误差来源：一~3.1模型问题~3.2仪器问题~3.3随机问题二测量不确定度和测量结果的表示二1测量不确定度不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度它给出测量结果的不能确定程度的评判范围。u二1.1不确定度的A类分量（A类不确定度）计为a（随机问题通常考虑正态分布）:在相同的条件下，对某物理量作在相同的条件下，对某物理量作n次独立测量，得到的x值为％， X2，5u5u(x)=t (n-1)/(X-X)2i=1(n-1)（土旦顶 服从 t（n-1））分布）5⑴1nX=_ZXnii=1式中的0/2（n-1）就称为“t因子''，它与测量次数和“置信概率”有关。所谓“置信概率”是指真值落在X士ua（X）范围内的概率。t因子的数值可以根据测量次数和置信概率查表得到，例如n=16,n-1=15查t005/2(n-1)=2.131贝UnIZ(尤-X)2真值落在X土2.131¥，=n(n-1)概率为95%*P=(1-0.05)=0.95n〕z(x-x)2又t(0.1/2)(n-1)=1-753真值落在X土1〃53''%(n-1)概率为90%当测量次数较少或置信概率较高时，t>1；当测量次数n」0且置信概率为68.3%时，t」；在大多数普通物理教学实验中，为了简便，一般就取t=1.二~1.2B类不确定度计为就B若对某物理量x进行单次测量，那么B类不确定度由测量不确定度UB1(X)和仪器不确定度UB2(x)两部分组成。测量不确定度u(X)是由估读引起的，通常取仪器分度值B1d的土或5，有时也取J，视具体情况而定；特殊情况下，可取u=d，即：d/10d/5d/2d/10d/5d/2通常取仪器分度值d有时甚至更大。例如用分度值为1mm的米尺测量物体长度时，在较好地消除视差的情况下，测量不确定度可取仪器分度值的［，即10UB1（X）=土*1mm=0.1mm；但在示波器上读电压值时，如果荧光线条比较宽、且可能有微小抖动，则测量不确定度可取仪器分度值的1，若分度值为0.2V，那么测量不确定度u2 B1（X）=1*0.2V=0.1V。又如，用肉眼观察远处物体成像的方2法粗测透镜的焦距，虽然所用钢尺的分度值只有1mm，但此时测量不确定度uB1（X）可取数毫米，甚至更大。仪器不确定度u（x）是由仪器本身的特性所决定的，它定B2为：（2）其中，a是仪器说明书上所标明的“最大误差”或“不确定度限值”，C是一个与仪器不确定度的概率分布特性有关的常数，称为“置信因子”。仪器不确定度的概率分布通常有正态分布、均匀分布和三角分布以及反正弦分布、两点分布等。对于正态分布、均匀分布和三角分布，置信因子C分别取3、J厂和J厂。如果仪器说明书上只给出不确定限值(即最大误差)，却没有关于不确定度概率分布的信息，则一般u⑴=a可用均匀分布处理，即 B2 J3。有些仪器说明书没有直接给出其不确定限值，但给出了仪器的准确度等级，则其不确定度限值a需经计算才能得到。如指针式电表的不确定度限值等于其满量程值乘以等级，例如满量程为10V的指针式电压表，其等级为1级，则其不确定度限值a=10V*1%=0.1V。又如电阻箱的不确定度限值等于示值乘以等级再加上零值电阻，由于电阻箱各档的等级是不同的，因此在计算时应分别计算，例如常用的ZX21型电阻箱，其示值为360.5q，零值电阻为0.02q，则其不确定限值a=(300*0.1%+60*0.2%+0*0.5%+0.5*5%+0.02)q=0.47q

表：某些常用实验仪器的a仪器名称量程最小分度值a150mm1mm0.1mm钢板尺500mm1mm0.15mm1000mm1mm0.20mm钢卷尺1m2m1mm1mm0.8mm1.2mm游标卡尺125mm0.02mm0.02mm螺旋测微计0~25mm0.01mm0.004mm分析天平200g0.1mg1.3mg（满量程）1.0mg（半量程）0.7mg（1|3程）二~1.3不确定度的合成u(X)=/u2(丁)+u2(r)单次测量B B1 B2u(X)=u2(x)+u2(x)(3)多次测量 A B2(3)二~1.4测量结果的表示测量结果常表示为X=X土u（X）u=u（XX100%二~1.5不确定度传递在间接测量时，待测量（即复合量）是由直接测量的量通过；+曹而坦质芸y=f（x,x,x,...,x）日攵v始石猫古计算而得的，有23，，n，，且各xi相互独立，

则测量结果y的标准不确定度u（y）的传递公式为：2u2(七)(4)仔12u2(七)(4)IoxJi=1yi/由（4）式可以得到一些常用的不确定度传递公式如下:加减法：y=气±七，u2(y)=u2(x)+u2(x)2对乘除法：y对乘除法：y=%'七，或Xy=里X，2u(y)J2=["(气)]对乘方（或开方）：y=X〃，则I罕］2+-罗:2测量结果也表示为:f=f+u(f)u=M(?X100%we=(9.1093897土0.0000054)x10-31kgu=0.59x10-6x100%二2.2有效数字及其运算规则除了以上两种常用的不确定度表示法外，还有一种更为简略的表示法，叫做不确定度的有效数字表示法。所谓有效数字，是指一个数值中，从第一个非0数字算起的所有数字。例如，x=0.0035中的3是第一个非0数字，因此I有两位有效数字：3和5,小数点前后的三个0都是表示数量级的，不是有效数字。又如，x=土500有四位有效数字3,5,0，0都是有效数字，其中的两个0虽然对该数的大小并无意义，但它却表示这个数的准确程度可达到小数点后的第三位，即-的值约在3.495和3.504之间，它与X=3.5是显然不同的。后者表示小数点后的第一位数(即5)就是可疑的，不确定的。测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，而测量结果的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐,即测量结果的末位有效数字是不确定的(特殊情况下，不确定度的有效数字可取两位，即测量值的末两位有效数字都是不确定的）。这样，根据测量值的不确定度，可以决定测量值的有效数字位数。在计算数据时，当有效数字位数确定后，须进行数字修约，修约规则为：四舍六入五成双“五成双”的意思是遇到被舍数字恰为“50”或只有“5”一位数字时，则“5”有时入，有时不入，应使有效数字末位保持为偶数，这样可使舍和入的机会均等，从而避免在处理较多数据时因入比舍多而带来的问题。例如：经计算所得的长度值为x=3.5482瓠，若不确定度为0.0003m，则应取测量值的结果为x=3.5482m；若不确定度为0.002m，则应取测量值的结果为X=3.548m；若不确定度为0.05m，则应取测量值的结果为x=3.5切；若不确定度为O.lm，则应取测量值的结果为x=3.5m（如以毫米为单位，则应写成3.5x103mm,不可写成3500mm）.这样，从测量值的有效数字，就可大约知道它的不确定度，这就是不确定度的有效数字表示法，显然，这只是一种简略的表示法，在严格的定量实验中，应采用有确定度的一般表示法或百分比表示法。虽然测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，但在运算过程中，不确定度一般要取两位或更多，中间过程测量值的有效数字也应适当多取一些，以免过早舍入，造成不合理的结果。

有效数字的运算有一定的规则，最简单和常用的规则是:当两个数相加减时，有效数字的位数应对齐；当两个数相乘除时，有效数字的位数应与有效数字少的一致。例如，尤=1.832m（共有4位有效数字，末位在小数点后第3位），y=L69m（共有3位有效数字，末位在小数点第2位）贝°：*+>=3.5为（末位取小数点后第2位）；工-y=0」物（末位取小数点后第2位）；%V=3」Om2（共取3位有效数字）y=1・°8（共取3•/位有效数字）不确定度的计算样例例题单摆法测重力加速度42T=1.4445s2T=T=1.4445s2T=1.4475s3T=1.4425si,2（T）=0.00{s）

卜3(T-T)2uA(T)=jJ=13(3‘m=0.0015(s)u(T)=u2(T)+u2(T)=0.0018s)\：A B2T=(1.4448土0.0018)(s)L1=52.64(cm)L2=52.68(cm)L3=52.70(皿)uB2(L)=0.01(cm)'1(L-'1(L-L)2-iii=13(3-1)=0.018(cm)u(L)=*a2(L)+uB22(L)=0.021cm)L=52.671±0.021(cm)1.908(cm)d1=1.910(cm) d〔=1.908(1.908(cm)u/d)=a/妒=0.002/妒(cm)3 - -z(d一d)2iuA(d)=]i=13(3]) =0.00067(cm)u(d)=u2(d)+u―2(d)=0.0013(cm