2017名师一号文科-课时作业

一、选

作业 A组基础函数y＝x2lnx的导数为( 解析由导数的计算 x(2lnx＋1)＝x(lnx＋1)＝xln(ex)答案已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是21＝0，则f(1)＋2f′(1)＝( 23

解析因为点(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以＝0，得f(1)＝1。又f′(1)＝1，所以f(1)＋2f′(1)＝1＋2×1＝2 答案 已知曲线y＝4－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横标为 2 2x2xx0切线的斜率为1，所以y′|x＝x0＝x03＝1，解得x0＝3(舍去22)，即切点的横坐标为3

答案设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则 解析y′＝a－ 根据已知得当x＝0时，y′＝2，代入解a＝3答案5．(2016·洛阳一模)已知直线m：x＋2y－3＝0，函数＋cosx的图lPl⊥mP点的坐标可能 －2，－2 B.，2 C.2 －2，－ 2因为y＝3x＋cosx的图象与直线l相切于点PP(a，b)22＝3a＋cosa且y′|x＝a＝3－sina＝2，所以sina＝1，解得2 ∈Z)，所以b＝3π＋6kπ(k∈Z)，所以P ＋6kπ(k∈Z)，2k＝0时，Pπ，3π。故选B

2 2 答案已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是(

D.1，－12解析由题，A(x1，x2)，B(x2，x2)，f′(x)＝2x，则过A，B两12的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切线互相垂直，所以k1k2＝－1，x1x2＝－1。两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x2，l2：y＝2x2x－x2， 立得4＝x1x2＝－1，故选D4答案二、填

x已知曲线y1＝2－1与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率的乘积为3，则x0的值为 x解析由题知，y1′＝1，y2′＝3x2－2x＋2，所以两曲线在 3x2 x处的切线的斜率分别 xx xx x0＝1答案已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是 解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处答案曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积 解析∵y′＝1，∴k＝1 ∴切线方程为y＝1(x－1)∴三角形面积为

1×

＝1 2答答

2log已知直线y＝－x＋1数

x图象的切线解析设切点为(x0，y0)，则

∴ex0＝a，又

0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2答案三、解已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；若曲线y＝f(x)存在两条垂y轴的切线a的取值范解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)由题意得解得b＝0，a＝－3a＝1∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即22 ∴a的取值范围是

，＋∞ 已知函数f(x)＝x3－ax2＋10(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程(2)若在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实a的取值范围。解(1)a＝1曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率∴曲线y＝f(x)在点(2f(2))处的切线方程为y－14＝8(x－2)－y－2＝0 (2)由已知得a>xx2 设 ≤x≤2)，则x2 ∴g′(x)<0，∴g(x)在区间[1,2]上是减函数 即实数a的取值范围是2，＋∞ B组能力提13．(2015·郑州二测)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝() 3于－133f′(3)＝－1。又33f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以

＝0答案14．(2016·湖南六校联考)设点P在曲线y＝2ex上，点Q在曲y＝lnx－ln2上，则|PQ|的最小值为( B. D.2解析由已知可得y＝2ex与y＝lnx－ln2＝lnx互为反函数，即2x＝2exy＝lnx－ln2的图象x－y＝0对称，|PQ|的最小值为点Q到直线x－y＝0的最小距离的2倍，令Q(t，lnt－ln2)Q的切线与直线x－y＝0平行y＝lnx－ln2的导数为y′＝1，xtt距离为

2＝2

2(1＋ln2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足

3，则 解析

3＋x2。令x＝1，得f(0)＝1。在

0，得f(0)＝f′(1)e－1＝1，所以f′(1)＝e，所以f(x)＝ex－x＋13答案ex－x2已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝sinπx＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))。2(1)a，b的值和直线l的方程(2)证明：f(x)>g(x)解 2cos曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋a，曲线在点(1，g(1))处的切线方程为y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1。依题意，有a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1。2(2)证明：由(1)知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sinπx＋x2F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，则F′(x)＝ex＋2x－1，x∈(－∞，0)时，F′(x)<F′(0)＝0