高中数学苏教版第二章数列 高质作品

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知等差数列{an}的通项公式是an＝3n，则其公差是________．【解析】an－an－1＝3n－3(n－1)＝3.【答案】32．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列为________(填序号)．(1)是公差为2的等差数列；(2)是公差为5的等差数列；(3)是首项为5的等差数列；(4)是公差为n的等差数列．【解析】∵an＝2n＋5，∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－2n－5＝2.又a1＝2×1＋5＝7，故(1)正确．【答案】(1)3．等差数列3,7,11，…的第4项是________．【解析】由题意可知7－3＝a4－11，∴a4＝15.【答案】154．已知数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，若an＝2017，则项的序号n等于________．【解析】由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d得2017＝1＋(n－1)·3，解得n＝673.【答案】6735．已知数列{an}为等差数列a3＝eq\f(5,4)，a7＝－eq\f(7,4)，则a15＝________.【解析】法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝\f(5,4)，,a1＋6d＝－\f(7,4)，))解得a1＝eq\f(11,4)，d＝－eq\f(3,4).∴a15＝a1＋(15－1)d＝eq\f(11,4)＋14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).法二由a7＝a3＋(7－3)d，即－eq\f(7,4)＝eq\f(5,4)＋4d，解得d＝－eq\f(3,4).∴a15＝a3＋(15－3)d＝eq\f(5,4)＋12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).【答案】－eq\f(31,4)6．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．【解析】设an＝－24＋(n－1)d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a9＝－24＋8d≤0，,a10＝－24＋9d>0，))解得eq\f(8,3)<d≤3.【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按图2­2­1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．图2­2­1【解析】显然构成一个等差数列，且首项a1＝6，公差d＝4，∴第n个图案中有an＝6＋4(n－1)＝4n＋2块白色地面砖．【答案】4n＋28．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们的公共项的个数有________．【解析】设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1＝11.∵数列5,8,11…与3,7,11…的公差分别为3和4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.又∵5,8,11，…与3,7,11…的第100项分别为302和399，∴an＝12n－1≤302，即n≤.又n∈N*，∴两数列有25个相同的项．【答案】25二、解答题9．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．【解】由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式an＝2n.10．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq\f(1,an－2).(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：∵bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2an－2)＝eq\f(1,2)，又∵b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，∴数列{bn}是首项为eq\f(1,2)，公差为eq\f(1,2)的等差数列．(2)由(1)可知bn＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)，又由bn＝eq\f(1,an－2)可知，an＝2＋eq\f(1,bn)＝2＋eq\f(2,n).能力提升]1．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是________(填序号)．①{an＋3}；②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,n)))；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))).【解析】∵{an}成等差数列，∴an＋1－an＝d(常数)．∴{an＋3}，{an＋1－an}，{2an}均是等差数列，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))未必是等差数列．【答案】①③④2．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.【导学号：91730026】【解析】由题设可得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式eq\f(an,n)＝n，所以an＝n2.【答案】n23．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.【解析】因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.【答案】194．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由；(2)求an.【解】(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(