高中数学人教B版第一章立体几何初步 9

第3课时1.1.2棱柱、棱锥、课时目标1.了解、认识和研究棱锥、棱台的结构特征，并结合这些结构特征认识日常生活中见到的几何体．2．认识正棱锥、正棱台这些特殊多面体的结构特征和性质，认识和研究正棱锥或正棱台中可以称之为核心图形的那些直角三角形或直角梯形．识记强化1．棱锥的主要结构特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形；棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高．2．棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等．如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形；等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高．3．棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高．4．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是()A．底面为正多边形B．各侧棱都相等C．各侧面与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形答案：C解析：正棱锥的底面是正多边形，且顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上．故底面为正多边形的棱锥不一定是正棱锥；各侧棱都相等(或各侧面都是等腰三角形)的棱锥不一定是正棱锥；各侧面与底面都是全等的正三角形的棱锥是正三棱锥．2．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B．四面体一定是三棱锥C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥答案：B解析：对于A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，A错误；B显然正确；对于C，举反例，如图所示，在棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AC＝CD＝3，BC＝AD＝2，满足侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥，C错误；对于D，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥，D错误．3．下面多面体中有12条棱的是()A．四棱柱B．四棱锥C．五棱锥D．五棱柱答案：A解析：四棱柱有4条侧棱，上、下底面四边形各有4条边，共12条棱．故选A.4．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A．正三棱锥B．正四棱锥C．正五棱锥D．正六棱锥答案：D解析：如图所示，在正六边形ABCDEF中，OA＝OB＝AB，而在正六棱锥S－ABCDEF中，SA＞OA＝AB，即侧棱长大于底面边长，侧面不可能是等边三角形．5．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为eq\r(6)，则该棱锥的高等于()\f(\r(3),3)\r(3)C．1\f(\r(3),2)答案：B解析：如图所示，正三棱锥P－ABC中，OP⊥面ABC，∴点O为正三角形ABC的中心，连结OA，利用平面几何知识知正△ABC的高(中线长)等于eq\f(3\r(3),2)，而OA是中线长的eq\f(2,3)，所以OA＝eq\r(3).在Rt△PAO中AP＝eq\r(6)，OA＝eq\r(3)，OA⊥OP，得OP＝eq\r(3).6．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是()A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱答案：D解析：如图，正三棱锥A—BEF和正四棱锥B—CDEF的一个侧面重合后，而面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．二、填空题(每个5分，共15分)7．如图是一个立体图形的展开图，则该立体图形是________．答案：正五棱锥解析：底面是正五边形，其余各面是有公共顶点的等腰三角形，故几何体为五棱锥．8．下列说法正确的是________(填序号)．①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是平行六面体；④正棱锥的各侧面均为等腰三角形．答案：①④解析：由平行六面体的定义，知①正确；因为底面是矩形的平行六面体的侧棱与底面可以不垂直，所以②不正确；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以③不正确；由正棱锥的结构特征，知④正确．9．正五棱台的上、下底面面积分别为1cm2、49cm2，平行于底面的截面面积为25cm答案：2解析：“还台于锥”，利用相似比求．三、解答题10．(12分)如图正四棱锥P—ABCD的底面边长为a，高为h，求它的侧棱PA的长和斜高PE.解：由正四棱锥的底面边长为a，得AO＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△PAO中，PA＝eq\r(PO2＋AO2)＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)eq\r(a2＋2h2)，∵OE＝eq\f(1,2)a，∴在Rt△POE中，斜高PE＝eq\r(PO2＋OE2)＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋4h2)，即此正四棱锥的侧棱长为eq\f(\r(2),2)eq\r(a2＋2h2)，斜高为eq\f(1,2)eq\r(a2＋4h2).11．(13分)正三棱台的上、下底面边长及高分别为1,2,2，求它的斜高．解：如图所示，O1，O分别为上、下底面的中心，D1，D分别为A1B1和AB的中点，则O1D1＝eq\f(\r(3),6)，OD＝eq\f(\r(3),3)，OO1＝2.在直角梯形O1D1DO中，DD1＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋OD－O1D12)＝eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))2)＝eq\f(7\r(3),6)，即该正三棱台的斜高为eq\f(7\r(3),6).能力提升12．(5分)(1)如图甲所示为某几何体的展开图，沿图中虚线将展开图折起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图．(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体？请在图乙棱长为6cm的正方体ABCD－A1B1C解：(1)该几何体为有一条侧棱垂直于底面，且底面为正方形的四棱锥，其中垂直于底面的棱长为6cm，底面正方形的边长为6(2)需要3个(1)中的几何体，如图乙所示，分别为四棱锥A1－CDD1C1，A1－ABCD，A1－BCC1B1(答案不唯一13．(15分)如图，已知正三棱锥V—ABC，底面积为16eq\r(3)，一条侧棱长为2eq\r(6)，计算它的高和斜高．解：设VO为正三棱锥V—ABC的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点(因为△ABC为等边三角形)．连接VM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.(因为VO是底面ABC的垂线)因为底面正△ABC的面积为16eq\r(3)，所以eq\f(1,2)·BC·eq\f(\r(3),2)BC＝16eq\r(3)，所以BC＝8，BM＝CM＝4，OB＝eq\f(\r(3),3)BC＝eq\f(8\r(3),3)，OM＝eq\f(\r(3),6)BC＝eq\f(4\r(3),3)，又因为VB＝2eq\r(6)，在Rt△VOB中，由勾股定理可得VO＝eq\r(VB2－OB2)＝eq\r(2\r(6)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(6),3).在Rt△VOM(或Rt△VMB)中，由勾股定理可得VM＝eq\r(VO2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(