高中数学人教A版1直线与圆的位置关系 本讲高效整合

第二讲本讲高效整合一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，已知AB是半⊙O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么eq\f(CD,AB)＝()A．sin∠BPD B．cos∠BPDC．tan∠BPD D．eq\f(1,tan∠BPD)解析：如右图所示，连接BD．∴AB是直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝∠ABC，∠APB＝∠CPD，∴△APB∽△CPD，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(PD,PB).在Rt△PDB中，cos∠BPD＝eq\f(PD,PB)，∴eq\f(CD,AB)＝cos∠BPD，故选B．答案：B2．如右图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，C是eq\x\to(AB)上的一点，已知⊙O半径为r，PO＝2r，设∠PAC＋∠PBC＝α，∠APB＝β.则α、β的大小关系是()A．α＞β B．α＝βC．α＜β D．不能确定解析：连结OA，则OA⊥PA，又PO＝2r＝2OA，∴∠APO＝30°，∴β＝∠APB＝60°.连结OB，则∠POA＝∠POB＝60°，又α＝∠PAC＋∠PBC＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°，∴α＝β.答案：B3．如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是()A．30≤x≤60 B．30≤x≤90C．30≤x≤120 D．60≤x≤120答案：A4．如图所示，在⊙O中，AB＝2CD，那么()A．eq\x\to(AB)>2eq\x\to(CD)B．eq\x\to(AB)<2eq\x\to(CD)C．eq\x\to(AB)＝2eq\x\to(CD)D．eq\x\to(AB)与2eq\x\to(CD)的大小关系不能确定解析：如右图所示，作eq\x\to(DE)＝eq\x\to(CD)，则eq\x\to(CE)＝2eq\x\to(CD).∵在△CDE中，CD＋DE>CE，∴2CD>CE，∵AB＝2CD，∴AB>CE，∴eq\x\to(AB)>eq\x\to(CE)，即eq\x\to(AB)>2eq\x\to(CD).答案：A5．已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，EF是过点P的弦，已知AB＝10，PA＝2，PE＝5，则CD和EF分别为()A．8和7 B．7和eq\f(41,5)C．7和8 D．8和eq\f(41,5)解析：∵PA·PB＝PC2，∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.∵PE·PF＝PC2，∴PF＝eq\f(16,5)，∴EF＝eq\f(16,5)＋5＝eq\f(41,5).答案：D6．如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于()A．20° B．25°C．30° D．40°解析：连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°，连接BC，∵OC＝OB，∴∠B＝eq\f(1,2)∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.答案：B7．给出下列命题：(1)任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；(2)任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；(3)任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；(4)任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中真命题共有()A．1个 B．3个C．2个 D．4个解析：(1)(3)正确，(2)(4)错误，故选C．答案：C8．如右图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为()A．78 B．65C．45 D．37解析：如右图所示，不妨设⊙O与AB交于F，分别连接OE、DF.根据切线的性质，可得OE⊥BC．∵OE、AB、CD都是平行的，又∵O是中点，∴r＝OE＝eq\f(1,2)(AB＋CD)＝eq\f(1,2)×(4＋9)＝eq\f(13,2).又∵AF＝AB－CD＝5，在Rt△ADF中，DF＝eq\r(AD2－AF2)＝eq\r(132－25)＝12，∴S＝eq\f(1,2)(AB＋CD)·DE＝eq\f(1,2)×13×12＝78.答案：A9．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，以A为圆心、AC为半径的圆交AB于F，交BA的延长线于E，CD⊥AB于D，给出四个等式：①BC2＝BF·BA；②CD2＝AD·AB；③CD2＝DF·DE；④BF·BE＝BD·BA．其中能够成立的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：①②不正确，由割线定理的推论知③正确，又由BC2＝BE·BF，BC2＝BD·BA，∴BE·BF＝BD·BA，故④正确．答案：B10．如图，AB、AC、CE都是⊙O的切线，B、D、E为切点，P为eq\x\to(BDE)上一点，若∠A＋∠C＝110°，则∠BPE＝()A．70° B．60°C．55° D．50°解析：连结BD、DE，则∠ABD＝∠ADB＝90°－eq\f(1,2)∠A，∠CDE＝∠CED＝90°－eq\f(1,2)∠C，∴∠BPE＝180°－∠ADB－∠CDE＝eq\f(1,2)(∠A＋∠C)＝55°，∠BPE＝55°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．如右图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝是⊙O的直径，PC与圆⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.解析：依题意，△PBA∽△ABC，所以eq\f(PA,2r)＝eq\f(PB,AB)，即r＝eq\f(PA·AB,2PB)＝eq\f(2×\r(22－12),2×1)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)12．在Rt△ABC中，∠A＝90°，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径为________.解析：如右图所示，分别连接OE、OF，则四边形OEAF是正方形，不妨设⊙O的半径为r，则由切线长定理，可得AE＝AF＝r，∵BE＝AB－AE，CF＝AC－AF，∴BE＝a－r，CF＝b－r，∵△BEO与△CFO相似，∴eq\f(BE,OE)＝eq\f(OF,CF)，∴eq\f(a－r,r)＝eq\f(r,b－r)，解得r＝eq\f(ab,a＋b).答案：eq\f(ab,a＋b)13．PA是圆的切线，A是切点，PBC是圆的割线且PB＝eq\f(1,2)BC，那么eq\f(PA,PB)＝________.解析：如图所示，∵PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝PB·(PB＋2PB)＝3PB2，∴eq\f(PA,PB)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)14．如图所示，A、B、C是⊙O上的三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论________.(任写一个)解析：由OC＝OB，得∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠ABC，∴OC与AB是平行的．答案：OC∥AB三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝(1)求△ABC内切圆的半径；(2)若移动圆心O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC和边BC都相切，求r的取值范围．解析：(1)如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F.连接OD、OE、OF、OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC＝4cm，∴AB＝∵OE＝OD，∠C＝90°，∴四边形CEOD是正方形．∴CD＝DO.∵OB＝OB，OD＝OF，∠ODB＝∠OFB＝90°，∴△ODB≌△OFB．∴BD＝BF.同理，可得AE＝AF.∴AC＋BC－AB＝AE＋EC＋BD＋DC－AF－BF＝EC＋DC＝2OD．∴内切圆的半径r＝OD＝eq\f(AC＋BC－AB,2)＝eq\f(3＋4－5,2)＝1cm.(2)如图所示，动⊙O与AC，BC相切的最大的圆与AC，BC的切点分别是A、D，连接OA、OD，则四边形AODC是正方形，此时应有OA＝AC＝3∴动圆的半径r的范围为(0,3]．16．(12分)如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E.连接BE、DE.(1)求证：∠BED＝∠C；(2)若OA＝5，AD＝8，求AC的长．解析：(1)证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，∴AB⊥AC．即∠1＋∠2＝90°.又∵OC⊥AD，∴∠1＋∠C＝90°.∴∠C＝∠2.而∠BED＝∠2，∴∠BED＝∠C．(2)连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(102－82)＝6.∴△OAC∽△BDA．∴OA∶BD＝AC∶DA．即5∶6＝AC∶8.∴AC＝eq\f(20,3).17．(12分)如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O2的切线CF交⊙O1于C，直线CB交⊙O2于D，直线DA交⊙O1于E，连接CE.求证：(1)△CAE是等腰三角形；(2)DA·DE＝CD2－CE2.证明：(1)连接AB，∵CA是⊙O2的切线，∴∠FAD＝∠ABD．又∠ABD＝∠E，∴∠E＝∠FAD＝∠EAC，∴△CAE是等腰三角形．(2)∵CA2＝CB·CD，DA·DE＝BD·DC，∴CA2＋DA·DE＝CB·CD＋BD·DC＝CD2.又∵CA＝CE，∴DA·DE＝CD2－CE2.18．(14分)如右图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝.(1)当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；(2)设PT2＝y，AC＝x，求出y与x之间的函数关系式；(3)△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由．解析：(1)如右图所示，当点C与点O重合后，即CE恰好为⊙O的半径，此时PO＝PC＝，延长PO交⊙O于F，不妨设该圆的半径为r，则PE＝PO－r＝－r，PE＝PO＋r＝＋r，根据切割线定理，可得PT2＝PE·PF，即22＝＋r)－r)，解得r＝.所以⊙O的半径为.(2)如