高中数学人教B版第一章解三角形 优秀作品

第一章第1课时基础巩固一、选择题1．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是eq\x(导学号27542109)(D)A．10eq\r(3)nmile B．10eq\r(6)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile[解析]如图，由正弦定理，得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，∴BC＝5eq\r(6).2．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好eq\r(3)km，那么x的值为eq\x(导学号27542110)(C)A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3[解析]由题意画出三角形如图．则∠ABC＝30°，由余弦定理，得cos30°＝eq\f(x2＋9－3,6x)，∴x＝2eq\r(3)或eq\r(3).3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为eq\x(导学号27542111)(B)A．akm B．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akm D．2akm[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝eq\r(3)a(km)．4．有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸eq\x(导学号27542112)(C)A．5mC．10eq\r(2)m D．10eq\r(3)m[解析]如图，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin30°)，∴x＝10eq\5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距eq\x(导学号27542113)(D)A．10eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．20eq\r(3)m D．30m[解析]设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB、Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.6．海上的A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是eq\x(导学号27542114)(D)A．10eq\r(3)nmile B．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile[解析]在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，解得BC＝5eq\r(6)nmile.二、填空题7．两船同时从A港出发，甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12nmile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距28nmile.eq\x(导学号27542115)[解析]如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC＝28(nmile)．8．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到公路的距离是eq\f(\r(3),6)\x(导学号27542116)[解析]如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，得BC＝eq\f(sin15°,sin60°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BCsin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．三、解答题9．如图，甲船以每小时30eq\r(2)nmile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20nmile.当甲船航行20min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10eq\r(2)nmile，问乙船每小时航行多少nmile？eq\x(导学号27542117)[解析]解法一：如图，连接A1B2，由已知，A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B∴△A1A2B2∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2).由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2由△A1B2B1中，由余弦定理，得B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,2)＋A1Beq\o\al(2,1)－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200.∴B1B2＝10eq\r(2).∴乙船的速度的大小为eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)nmile/h.答：乙船每小时航行30eq\r(2)nmile.解法二：如图，连接A2B1.由已知，A1B1＝20，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)，∠B1A1A2＝105°，cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝eq\f(\r(2)1－\r(3),4).sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝eq\f(\r(2)1＋\r(3),4).在△A2A1B1中，由余弦定理，A2Beq\o\al(2,1)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Aeq\o\al(2,2)－2A1B1·A1A2·cos105°＝(10eq\r(2))2＋202－2×10eq\r(2)×20×eq\f(\r(2)1－\r(3),4)＝100(4＋2eq\r(3))．∴A2B1＝10(1＋eq\r(3))．由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝eq\f(A1B1,A2B1)·sin∠B1A1A＝eq\f(20,101＋\r(3))×eq\f(\r(2)1＋\r(3),4)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2Bcos15°＝sin105°＝eq\f(\r(2)1＋\r(3),4).在△B1A2B2中，由已知，A2B2＝10eq\r(2)，由余弦定理，得B1Beq\o\al(2,2)＝A2Beq\o\al(2,1)＋A2Beq\o\al(2,2)－2A2B1·A2B2·cos15°＝102(1＋eq\r(3))2＋(10eq\r(2))2－2×10(1＋eq\r(3))×10eq\r(2)×eq\f(\r(2)1＋\r(3),4)＝200.∴B1B2＝10eq\r(2)，∴乙船速度的大小为eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)nmile/h，答：乙船每小时航行30eq\r(2)nmile.能力提升一、选择题1．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为eq\x(导学号27542118)(B)A．20(eq\r(2)＋eq\r(6))nmile/h B．20(eq\r(6)－eq\r(2))nmile/hC．20(eq\r(6)＋eq\r(3))nmile/h D．20(eq\r(6)－eq\r(3))nmile/h[解析]由题意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，则∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20，在△MNS中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin30°)＝eq\f(MS,sin105°)，∴MN＝eq\f(20sin30°,sin105°)＝eq\f(10,sin60°＋45°)＝eq\f(10,sin60°cos30°＋cos60°sin30°)＝eq\f(10,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝10(eq\r(6)－eq\r(2))．∴货轮的速度为10(eq\r(6)－eq\r(2))÷eq\f(1,2)＝20(eq\r(6)－eq\r(2))nmile/h.2．如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40nmile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30min后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是eq\x(导学号27542119)(A)A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(3)nmile D．20eq\r(2)nmile[解析]由题目条件，知AB＝20nmile，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°.由正弦定理，得eq\f(20,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，所以BC＝10eq\r(2)nmile，故选A．二、填空题3．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为eq\f(150,7)\x(导学号27542120)[解析]如图，当两船航行th时，甲船到D处，乙船到C处，则AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120°，若AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝60°，所以CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)×(－eq\f(1,2))＝28t2－20t＋100，∴当t＝eq\f(5,14)h时，CD2最小，即两船最近，t＝eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min.4．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是5.2km.(精确到0.1km)eq\x(导学号[解析]作出示意图如图．由题意知，则AB＝24×eq\f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理，得eq\f(6,sin35°)＝eq\f(BS,sin30°)，可得BS≈5.2三、解答题5．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20nmile的B处．现在“白云号”以每小时10nmile的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8nmile的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.eq\x(导学号27542122)[解析]如右图，设经过th，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD．则根据题意，知在△ACD中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos60°＝(8t)2＋(20－10t)2－2×8t×(20－10t)×cos60°＝244t2－560t＋400＝244(t－eq\f(70,61))2＋400－244×(eq\f(70,61))2，∴当t＝eq\f(70,61)时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．答：经过eq\f(70,61)h后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．6．已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10nmile，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15°方向也以2nmile/h的速度移动.eq\x(导学号27542123)(1)经过1h后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析](1)经过1h后，甲船到达M点，乙船到达N点，AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×eq\f(1,2)＝52.所以MN＝2eq\r(13).所以经过1h后，甲、乙两小船相距2eq\r(13)nmile.(2)设经过t(0<t<5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A距离为AE＝(10－2t)nmile，乙船与A距离为AF＝2tnmile，∠EAF＝60°，∠EFA＝75°，则由正弦定理，得eq\f(AF,sin45°)＝eq\f(AE,sin75°)，即eq\f(2t,sin45°)＝eq\f(10－2t,sin75°)，则t＝eq\f(10sin45°,2sin75°＋2sin45°)＝eq\f(10,3＋\r(3))＝eq\f(53－\r(3),3)<5.答：经过eq\f(53－\r(3),3)小时小船甲处于小船乙的正东方向．7.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一从A沿直线步行到C，另一种是从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？eq\x(导学号27542124)[解析](1)在△ABC中，因为cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsin