高中物理教科版第四章机械能和能源 第4章机械能守恒定律

5．机械能守恒定律学习目标知识脉络1.能够分析动能和势能之间的相互转化问题．2．能够推导机械能守恒定律．(重点)3．会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒．4．能运用机械能守恒定律解决有关问题，并领会运用机械能守恒定律解决问题的优越性．(重点)动能和势能的转化规律机械能守恒定律及应用[先填空]1．动能和重力势能间的转化在只有重力做功时，重力势能减小时，动能将会增大，重力势能增大时，动能将会减小，即动能和重力势能会相互转化．2．动能和弹性势能间的转化被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭射出去，在这些过程中弹性势能转化为动能，即弹性势能和动能会相互转化．3．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变．(2)表达式：Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.[再判断]1．物体自由下落时，重力做正功，物体的动能增加，所以物体的机械能增大．(×)2．物体自由下落过程中经过A、B两位置，如图4­5­1甲所示，此过程中物体的机械能一定守恒．(√)3．物块沿斜面匀速下滑，如图4­5­1乙所示，此过程中物块机械能守恒．(×)4．光滑水平面上，被压缩的弹簧能将小球向右弹出，如图4­5­1丙所示，在弹簧恢复原状的过程中，小球的机械能守恒．(×)图4­5­1[后思考]毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”．试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？图4­5­2【提示】箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；下落过程中，重力势能又向动能转化．[合作探讨]如图4­5­3所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下．(忽略轨道的阻力和其他阻力)图4­5­3探讨1：过山车受哪些力作用？各做什么功？【提示】忽略阻力，过山车受重力和轨道支持力作用．重力做正功，支持力不做功．探讨2：过山车下滑时，动能和势能怎么变化？两种能的和不变吗？机械能守恒吗？【提示】过山车下滑时，动能增加，重力势能减少．忽略阻力时，两种能的和保持不变，机械能守恒．[核心点击]1．机械能守恒的判断(1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．(2)用能量转化来判定：若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式能的转化，则系统机械能守恒．2．表达式及特点表达式特点Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末(从不同状态看)即初状态的机械能等于末状态的机械能Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp(从转化角度看)即过程中动能的增加量等于势能的减少量EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB(从转移角度看)即系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能3．应用机械能守恒定律解题的一般步骤(1)正确选取研究对象(物体或系统)，确定研究过程；(2)进行受力分析，考查守恒条件；(3)选取零势能平面，确定初、末状态机械能；(4)运用守恒定律，列出方程求解．4．机械能守恒定律和动能定理的比较两大规律机械能守恒定律动能定理表达式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEBW＝ΔEk应用范围只有重力或弹力做功时无条件限制物理意义其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度合外力对物体做的功是动能变化的量度关注角度守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况)1．(多选)如图，物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)()物块沿固定斜面物块在F作用下沿固定匀速下滑光滑斜面上滑AB小球由静止沿光滑半圆细线拴住小球绕O形固定轨道下滑点来回摆动CD【解析】物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确．【答案】CD2．(2023·重庆一中检测)将物体从地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H.当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的3倍，则这一位置的高度是()A．2H/3 B．H/2C．H/3 D．H/4【解析】物体在运动过程中机械能守恒，设动能是重力势能的3倍时的高度为h，取地面为零势能面，则有mgH＝Ek＋mgh，即mgH＝4mgh，解得：h＝H/4，故D正确．【答案】D3．如图4­5­4所示，AB是倾角θ为45°的直轨道，CD是半径R＝0.4m的圆弧轨道，它们通过一段曲面BC平滑相接，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑．一个质量m＝1kg的物体(可以看作质点)从高H的地方由静止释放，结果它从圆弧最高点D点飞出，垂直斜面击中P点．已知P点与圆弧的圆心O等高，g取10m/s2.求：图4­5­4(1)物体击中P点前瞬间的速度．(2)在C点轨道对物体的压力大小．(3)物体静止释放时的高度H.【导学号：67120234】【解析】(1)物体从D点运动到P点，做平抛运动，在竖直方向上满足2gR＝veq\o\al(2,y)，求得vy＝2eq\r(2)m/s物体击中P点的速度v＝eq\f(vy,cosθ)＝4m/s(2)物体在D点的速度为平抛运动的水平速度vD＝vytanθ＝2eq\r(2)m/s根据机械能守恒定律eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＝mg·2R＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)由牛顿运动定律得FN－mg＝eq\f(mv\o\al(2,C),R)解得支持力FN＝70N，即在C点轨道对物体的压力为70N.(3)由A点到D点，物体的机械能也守恒，故mgH＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)＋mg2R解得H＝m.【答案】(1)4m/s(2)70N(3)m1．无论直线运动还是曲线运动，机械能守恒定律都可应用，且仅需考虑始、末状态，而不必考虑所经历的过程．2．能用机械能守恒定律求解的，一定能用动能定理求解，但满足守恒条件时，应用机械能守恒定律更方便．学生实验：验证机械能守恒定律1．实验目的(1)会用打点计时器打下的纸带计算物体的运动速度和位移．(2)探究自由落体运动物体的机械能守恒．2．实验原理我们采用如图4­5­5所示的实验装置，在物体自由下落的过程中，如果空气阻力和纸带受到的摩擦力可以忽略不计，则物体的机械能守恒，即系统机械能的总量应保持不变．图4­5­5若以重物下落的起始点O(静止点)为基准，设重物的质量为m，测出物体自起始点O下落距离h时的速度v，在误差允许范围内，由计算得出eq\f(1,2)mv2＝mgh则机械能守恒定律得到验证．若以重物下落过程中的某一点A为基准，设重物的质量为m，测出物体对应于A点的速度vA，再测出物体由A点下落Δh后经过B点的速度vB，在误差允许范围内，由计算得出eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＝mgΔh则机械能守恒定律得到验证．3．实验器材铁架台(带铁夹)、电火花计时器、重物(带纸带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源．1．实验步骤(1)安装：将打点计时器固定在铁架台上；用导线将打点计时器与低压交流电源相连接．(2)接通电源，打纸带：把纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物停靠在打点计时器附近，接通电源，待打点稳定后松开纸带，让重物自由下落．重复几次，打下3～5条纸带．(3)选纸带：选取点迹清晰的且第1、2连续两点间的距离约为2mm的纸带．(4)标数字：在打出的纸带上从打出的第1个点开始，依次标上0,1,2,3…(5)数据测量：测出0到点1、点2、点3…的距离，即为对应的下落高度h1、h2、h3…2．数据处理(1)利用公式vn＝eq\f(hn＋1－hn－1,2T)，计算出点1、点2、点3…的瞬时速度v1、v2、v3…(2)验证：通过计算，在误差允许的范围之内eq\f(1,2)mveq\o\al(2,n)与mghn是否相等或eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,n)与mghnm是否相等．3．误差分析(1)本实验的误差主要是由于纸带测量产生的偶然误差和重物和纸带运动中空气阻力和打点计时器摩擦阻力引起的系统误差，使动能的增加量稍小于势能的减少量．(2)测量时采取多次测量求平均值来减小偶然误差，安装打点计时器使两限位孔中线竖直，并且选择质量适当大些，体积尽量小些的重物来减小系统误差．(3)打点计时器周期变化带来误差．4．在“验证机械能守恒定律”的实验中，下面列出一些实验步骤：A．用天平称出重物和夹子的重量B．把重物系在夹子上C．将纸带穿过计时器，上端用手提着，下端夹上系住重物的夹子，再把纸带向上拉，让夹子靠近打点计时器静止D．把打点计时器接在学生电源的交流输出端，把输出电压调至6V(电源不接通)E．把打点计时器固定在桌边的铁架台上，使两个限位孔在同一竖直线上F．在纸带上选取几个点，进行测量和记录数据G．用秒表测出重物下落时间H．接通电源，待计时器响声稳定后释放纸带I．切断电源J．更换纸带，重新进行两次K．在三条纸带中选出较好的一条L．进行计算，得出结论，完成报告M．拆下导线，整理器材以上步骤中，不必要的有________，正确步骤的合理顺序是________(填写字母)．【解析】只为了验证机械能守恒，没必要称量重物的质量．打点计时器本身就是计时仪器，不再需要秒表．【答案】AGEDBCHIJMKFL5．某同学做验证机械能守恒定律实验时，不慎将一条挑选出的纸带的一部分损坏，损坏的是前端部分．剩下的一段纸带上各相邻点间的距离已测出标在图4­5­6中，单位是cm.打点计时器工作频率为50Hz，重力加速度g取9.8m/s2.图4­5­6(1)重物在2点的速度v2＝________，在5点的速度v5＝________，此过程中动能增加量ΔEk＝________，重力势能减少量ΔEp＝________.由以上可得出实验结论________________________________________________________________________________________________________________________.(2)重物获得的动能往往________(A.大于B．小于C．等于)减少的重力势能，实验中产生系统误差的原因是_________________________________．(3)根据实验判断下列图像正确的是(其中ΔEk表示重物动能的变化量，Δh表示物体下落的高度)()【解析】(1)根据匀变速直线运动的规律，可以求出重物在2点的速度v2＝eq\f(＋×10－2,2×m/s＝m/s，重物在5点的速度v5＝eq\f(＋×10－2,2×m/s＝m/s，所以动能增加量为ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,5)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＝J，重物从2点到5点，重力势能减少量为ΔEp＝mgh25＝m××＋＋×10－2J＝J，由以上可得出实验结论为：在误差允许的范围内，机械能守恒．(2)由于纸带受到摩擦力作用，需克服摩擦力做功，所以获得的功能小于减少的重力势能．(3)重物机械能守恒，重物减少的重力势能转化为增加的动能，即ΔEk＝mgΔh，可见重物增加的动能与下落的距离成正比，选项C正确．【答案】(1)m/sm/sJJ在误差允许的范围内，机械能守恒(2)B纸带受到摩擦力作用(3)C注意事项1．先接通电源打点，后释放纸带．2．选取纸带(1)选择开始的一段时，要验证的是eq\f(1,2)mveq\o\al(2,n)＝mghn，必须保证纸带上的第一点为重物静止释放时打的点，所以前两个点的间距为h＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)×10×2m＝2mm.(2)选择运动中的一段时，要验证的是eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,n)＝mghmn，这时选择纸带不需要满足两点间距为2mm.3．计算速度时不能用v＝gt或v＝eq\r(2gh)，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误．4．测量下落高度时，为减小实验误差，后边的点应距起点O较远，在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离．学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在“验证机械能守恒定律”实验中，纸带将被释放瞬间的四种情况如照片所示，其中最合适的是()【解析】开始释放时，重锤要靠近打点计时器，纸带应保持竖直方向，故D正确．【答案】D2．下列说法正确的是()A．物体沿水平面做匀加速运动，机械能一定守恒B．起重机匀速提升物体，机械能一定守恒C．物体沿光滑曲面自由下滑过程中，机械能一定守恒D．跳伞运动员在空中匀速下落过程中，机械能一定守恒【解析】A项，势能不变动能增加；B项，动能不变势能增加；C项，只有重力做功机械能守恒；D项，动能不变势能减小，综上所述选项C正确．【答案】C3．如图4­5­7所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，则它到达B点时速度的大小是()【导学号：67120235】图4­5­7\r(2gh) B．eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)\r(v\o\al(2,0)－2gh) D．v0eq\r(\f(2h,g))【解析】若选桌面为参考面，则eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝－mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，解得vB＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh).【答案】B4．如图4­5­8所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定有一轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面．设物块在斜面最低点A的速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为()图4­5­8A．mgh B．mgh＋eq\f(1,2)mv2C．mgh－eq\f(1,2)mv2 D．eq\f(1,2)mv2－mgh【解析】由机械能守恒定律可得物块的动能转化为其重力势能和弹簧的弹性势能，有eq\f(1,2)mv2＝mgh＋Ep，故Ep＝eq\f(1,2)mv2－mgh.【答案】D图4­5­95．如图4­5­9所示的光滑轻质滑轮，阻力不计，M1＝2kg，M2＝1kg，M1离地高度为H＝0.5m．M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3m时的速度为()\r(2)m/s B．3m/sC．2m/s D．1m/s【解析】对系统运用机械能守恒定律得，(M1－M2)gh＝eq\f(1,2)(M1＋M2)v2，代入数据解得v＝eq\r(2)m/s，故A正确，B、C、D错误．【答案】A6．(多选)由光滑细管组成的轨道如图4­5­10所示，其中AB、BC段均为半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是()图4­5­10A．小球落到地面相对于A点的水平位移值为2eq\r(RH－2R2)B．小球落到地面相对于A点的水平位移值为2eq\r(2RH－4R2)C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2RD．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝eq\f(5,2)R【解析】小球从D到A，根据机械能守恒定律知，mg(H－2R)＝eq\f(1,2)mv2，小球从A出发后平抛，有eq\f(1,2)gt2＝2R，水平位移x＝vt＝2eq\r(2RH－4R2)，则B正确，A错误；竖直平面内小球在细管中可以过最高点A的最小速度为0，根据机械能守恒定律知，小球要到达A点且水平抛出，则需要满足H＞2R，则C正确，D错误．【答案】BC7．(2023·九江高一检测)在“验证机械能守恒定律”的实验中：(1)下列物理量中需要用工具直接测量的有()A．重物的质量B．重力加速度C．重物下落的高度D．与重物下落高度对应的重物的瞬时速度(2)实验中，如果以eq\f(v2,2)为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出的eq\f(v2,2)­h图线应是________，才能合乎实验验证的要求，eq\f(v2,2)­h图线的斜率等于________的数值．【解析】(1)在“验证机械能守恒定律”的实验中，只需要用刻度尺测量重物下落的高度．重物的质量不用测量．重力加速度不需要测量．通过计算可以得到与重物下落高度对应的重物的瞬时速度．故选C.(2)在验证机械能守恒定律的实验中，有：mgh＝eq\f(1,2)mv2，则有：eq\f(v2,2)＝gh，由于g是常数，所以eq\f(v2,2)­h图线为过原点的倾斜直线，图线的斜率等于g.【答案】(1)C(2)过原点的倾斜直线重力加速度g8．在“验证机械能守恒定律”的实验中，某同学实验时，手总是抖动，找不出一条起始点迹清晰的纸带，该同学便选取一段纸带进行测量，如图4­5­11所示，A、B、C、D、E、F是以2个计时点为1个计数点，其测量结果是AB＝4.53cm，AC＝10.58cm，AD＝18.17cm，AE＝27.29cm，AF＝37.94cm(g取9.8m/s2)．(1)若重物质量为m，从B到E重力势能减少了多少？(2)从B到E动能增加了多少？(3)试对实验结果进行分析．图4­5­11【解析】(1)ΔEp＝mgΔh＝mg·BE＝m××－×10－2J＝J；(2)由匀变速运动的速度特征得vB＝eq\x\to(v)AC＝eq\f(AC,2T)＝eq\f×10－2,2×m/s＝1.32m/s，vE＝eq\x\to(v)DF＝eq\f(DF,2T)＝eq\f(－×10－2,2×m/s＝2.47m/s.又根据Ek＝eq\f(1,2)mv2有EkB＝eq\f(1,2)×m×J＝J，EkE＝eq\f(1,2)×m×J＝3.05mJ，故ΔEk＝EkE－EkB＝－J＝J.(3)动能增加量为2.18m【答案】见解析[能力提升]9．(多选)如图4­5­12所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是()【导学号：67120236】图4­5­12A．物体落到海平面时的势能为mghB．重力对物体做的功为mghC．物体在海平面上的动能为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mghD．物体在海平面上的机械能为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)【解析】若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，所以A选项错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，因而B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能为Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh，C选项正确；在地面处的机械能为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，因此在海平面上的机械能也为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，D选项正确．【答案】BCD10．(多选)如图4­5­13所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4m，最低点有一小球(半径比r小很多)，现给小球以水平向右的初速度v0，如果要使小球不脱离圆轨道运动，那么v0应当满足(g取10m/s2)()图4­5­13A．v0≥0 B．v0≥4m/sC．v0≥2eq\r(5)m/s D．v0≤2eq\r(2)m/s【解析】当小球沿轨道上升的最大高度等于r时，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mgr，得v0＝2eq\r(2)m/s；当小球恰能到达圆轨道的最高点时有mg＝meq\f(v2,R)又由机械能守恒eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mg2r＋eq\f(1,2)mv2解得v0＝2eq\r(5)m/s.所以满足条件的选项为CD.【答案】CD11．如图4­5­14所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的3/4圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g.求：图4­5­14(1)小球在AB段运动的加速度的大小；(2)小球从D点运动到A点所用的时间．【解析】(1)设小球在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律有，mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)小球从B点运动到C点，根据机械能守恒定律，eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋2mgR，在AB段设加速度的大小为a，由运动学公式，有veq\o\al(2,B)＝2aR，联立解得AB段运动的加速度的大小a＝eq\f(5,2)g.(2)设小球在D处的速度大小为vD，下落到A点时的速度大小为v，由机械能守恒定律有：eq\f(1,2)m