高中数学人教A版本册总复习总复习 省一等奖3

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，则cosα＝()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)\f(5,13) \f(12,13)解析：∵α为第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13).答案：A2．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为()A．4cm2 B．6cm2C．8cm2 D．16cm2解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,l＝2r.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝4.))所以S＝eq\f(1,2)lr＝4(cm2)．答案：A3．已知sin(π＋α)＝eq\f(4,5)，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是()A．－eq\f(3,5) \f(3,5)C．±eq\f(3,5) \f(4,5)解析：由已知sinα＝－eq\f(4,5)，而α为第四象限角，所以cosα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5)，所以cos(α－2π)＝cosα＝eq\f(3,5).答案：B4．已知α是锐角，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，sinα))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(1,3)))，且a∥b，则α为()A．15° B．45°C．75° D．15°或75°解析：∵a∥b，∴sinα·cosα＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)，即sin2α＝eq\f(1,2).又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°.∴2α＝30°或2α＝150°.即α＝15°或α＝75°.答案：D5．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2,则a与b的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：依据题意a·b＝－3，|a|·|b|＝eq\r(3)×2eq\r(3)＝6，cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，故a与b的夹角为120°.答案：C6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(3,5)，且x是第三象限角，则eq\f(1＋tanx,1－tanx)的值为()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(4,3)\f(3,4) \f(4,3)解析：因为x是第三象限角，所以π＋2kπ＜x＜eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(5π,4)＋2kπ＜x＋eq\f(π,4)＜eq\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＜0，而coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝－eq\f(4,5)，故eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanx,1－tan\f(π,4)·tanx)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq\f(4,3)，选D.答案：D7．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()\f(3π,4) \f(π,4)C．0 D．－eq\f(π,4)解析：y＝sin(2x＋φ)eq\o(→,\s\up17(向左平移),\s\do10(\f(π,8)个单位))y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋φ)).当φ＝eq\f(3π,4)时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，为奇函数；当φ＝eq\f(π,4)时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，为偶函数；当φ＝0时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，为非奇非偶函数；当φ＝－eq\f(π,4)时，y＝sin2x，为奇函数．故选B.答案：B8．函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()解析：当x＝eq\f(π,2)时，y＝1＞0，排除C.当x＝－eq\f(π,2)时，y＝－1，排除B；或利用y＝xcosx＋sinx为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当x＝π时，y＝－π＜0，排除A.故选D.答案：D9．已知|p|＝2eq\r(2)，|q|＝3，p，q的夹角为eq\f(π,4)，如图所示，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝5p＋2q，eq\o(AC,\s\up6(→))＝p－3q，D为BC的中点，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|为()\f(15,2) \f(\r(15),2)C．7 D．18解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5p＋2q＋p－3q)＝eq\f(1,2)(6p－q)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2))＝eq\f(1,2)eq\r(（6p－q）2)＝eq\f(1,2)eq\r(36p2－12p·q＋q2)＝eq\f(1,2)eq\r(36×（2\r(2)）2－12×2\r(2)×3×cos\f(π,4)＋32)＝eq\f(15,2).答案：A10．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；②若函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(π,3)))的最小正周期是4π，则a＝eq\f(1,2)；③函数y＝eq\f(sin2x－sinx,sinx－1)是奇函数；④函数y＝|sinx－eq\f(1,2)|的周期是π；⑤函数y＝sinx＋sin|x|的值域是[0，2]．其中正确命题的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin60°＝eq\f(\r(3),2)，sin390°＝sin30°＝eq\f(1,2)，故sinα＜sinβ，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T＝eq\f(2π,|a|)＝4π，得a＝±eq\f(1,2)，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x|sinx－1≠0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))x≠\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f(x)＝|sinx－eq\f(1,2)|.若T＝π，则有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,2)))＝，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝，显然不相等，故④错误；对于⑤，y＝sinx＋sin|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0（x＜0）,2sinx（x≥0）))，而当f(x)＝2sinx(x≥0)时，－2≤2sinx≤2，故函数y＝sinx＋sin|x|的值域为[－2，2]，故⑤错误；综上可知选D.答案：D11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)的值等于()A．2 B．2＋eq\r(2)C．2＋2eq\r(2) D．－2－2eq\r(2)解析：由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A＝2，φ＝0，eq\f(2π,ω)＝8，从而f(x)＝2sineq\f(π,4)x.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2sineq\f(π,4)＋2sineq\f(π,2)＋2sineq\f(3π,4)＝2＋2eq\r(2).答案：C12．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝()A．0 B．－eq\f(3,5)\f(3,5) D．－eq\f(4,5)解析：由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a，4b，5c能组成三角形，又|a|＝|b|＝|c|＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a⊥b，所以a·(b＋c)＝a·c＝－eq\f(3,5).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．在平面直角坐标系xOy中，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，t)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．解析：∵∠ABO＝90°，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)，∴(2，2)·(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0.∴t＝5.答案：514．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，若cosα＝eq\f(3,5)(0＜α＜eq\f(π,2))，则f(α＋eq\f(π,12))＝________．解析：因为cosα＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜α＜\f(π,2)))，所以sinα＝eq\f(4,5)；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)＝eq\f(7\r(2),10).答案：eq\f(7\r(2),10)15．函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是________．解析：由f(x)＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).∵eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)⇒eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴f(x)max＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)16．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；②若函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(π,3)))的最小正周期是4π，则a＝eq\f(1,2)；③函数y＝eq\f(sin2x－sinx,sinx－1)是奇函数；④函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°＞30°＝β，但sinα＝sinβ，所以①不正确；函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(π,3)))的最小正周期为T＝eq\f(2π,|a|)＝4π，所以|a|＝eq\f(1,2)，a＝±eq\f(1,2)，因此②不正确；③中函数定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,))x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－cosx，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，a与b的夹角为θ.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a－b与a垂直，求θ.解析：(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝±eq\r(2).(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－eq\r(2)cosθ＝0，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tanα＝eq\f(1,2)，求eq\f(1＋2sin（π－α）cos（－2π－α）,sin2（－α）－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))的值．解析：原式＝eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(（sinα＋cosα）2,（sinα－cosα）（sinα＋cosα）)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)，又∵tanα＝eq\f(1,2)，∴原式＝eq\f(\f(1,2)＋1,\f(1,2)－1)＝－3.19．(本小题满分12分)已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，a·b＝eq\f(2,5)，求eq\f(5\r(2)sin2α－4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2)).解析：∵a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝eq\f(2,5)，∴sinα＝eq\f(3,5).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴eq\f(5\r(2)sin2α－4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2))＝eq\f(5\r(2)sin2α－2\r(2)（cosα－sinα）,1＋cosα)＝eq\f(5\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)))－2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)－\f(3,5))),1－\f(4,5))＝－10eq\r(2).20．(本小题满分12分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．解析：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又∵a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，∴2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)∵a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1，))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又∵0＜α＜π，∴α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α＞β，∴α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).21．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinx·cosx.(1)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，求f(x)的值域；(2)用五点法在下图中作出y＝f(x)在闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的简图．解析：f(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(π,3)＋cosxsin\f(π,3)))－eq\r(3)·sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域为[－eq\r(3)，2]．(2)由T＝eq\f(2π,2)，得T＝π，列表：xeq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))020－20图象如