高中数学苏教版第二章平面向量向量的概念及表示

第2章平面向量§向量的概念及表示课时目标1．掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量的概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，如速度、位移、力等．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等．注意数量可以比较大小，而向量无法比较大小．2．向量的几何表示(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作________．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就惟一确定．(2)向量的有关概念：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的________称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称为模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.长度为________的向量叫做零向量，记作0.长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量．3．平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a与b平行，通常记为a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a，都有0∥a.4．相等向量与共线向量(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，通常记为a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量．(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．5．相反向量我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的________________，记作________，a与－a互为________________，并且规定零向量的相反向量仍是____________．于是，对任一向量a有____________．一、填空题1．下列命题中正确的个数为______．①向量a与向量b平行，则a、b方向相同或相反；②若向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))同向，则eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于0方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤若向量a与向量b方向相反，则a与b是相反向量．2．下列结论中，正确的是________．(填序号)①向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线与向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))同义；②若向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))共线；③若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；④只要向量a，b满足|a|＝|b|，就有a＝b.3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，则四边形的形状为________．4．下列说法正确的有________．(填序号)①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．5．下列四个命题①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b，或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是________．6．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填写序号)7．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号)①向量的模一定是正数；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．8．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号)①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．二、解答题11.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝eq\r(5)，并说出向量c的终点的轨迹是什么？12.如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量；(2)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))的模大小相等的向量；(3)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量．能力提升13.如图，已知eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→)).求证：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→)).14.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义．3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．第2章平面向量§向量的概念及表示知识梳理1．(1)方向2．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))(2)大小013．相同相反平行4．(1)长度(2)直线5．相反向量－a相反向量零向量－(－a)＝a作业设计1．02．①②③解析根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确．3．菱形解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AB綊DC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD是菱形．4．②⑤解析②与⑤正确，其余都是错误的．5．2解析②③错，①④正确．6．①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．7．②解析①错误.0的模|0|＝0.②正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．③错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))必须在同一直线上．8．③解析若b＝0，则a与c不共线，①不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，②不正确；若a，b中有一个是零向量，则a与b一定共线，③正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，④不正确．9．单位圆相距为2的两个点一条直线\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))解析∵E、F分别为△ABC对应边的中点，∴EF∥BC，∴符合条件的向量为eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).11．解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(如图)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为eq\r(5)的圆(如图)．12．解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因为D是BC的中点，所以与eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)与eq\o(EF,\s\up6(→))模相等的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)与eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有：eq\o(DB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→)).13．证明(1)∵eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴|eq\o(AA′,\s\up6(→))|＝|eq\o(BB′,\s\up6(→))|，且eq\o(AA′,\s\up6(→))∥eq\o(BB′,\s\up6(→)).又∵A不在eq\o(BB′,\s\up6(→))上，∴AA′∥BB′.∴四边形AA′B′B是平行四边形．∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.同理|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′C′,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(B′C′,\s\up6(→))|.∴△ABC≌△A′B′C′.(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(A′B′,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→)).同理可证eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→)).14．解(1)与a的模相等的向量有23个．(2)与a的长度相等且方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).(3)与a共线的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→)