高中数学北师大版1本册总复习总复习 阶段质量评估

第一章常用逻辑用语一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①至少有一个实数x使x2－x＋1＝0成立；②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立；③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立；④存在实数x使x2－x＋1＝0不成立．其中全称命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：②与③含有全称量词“任意的”，“所有的”，故为全称命题，①与④是特称命题．答案：B2．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有()A．0个 B．1个C．2个 D．4个解析：原命题是假命题，如3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2，逆命题为“若a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4，d＝5，c≠d，由原命题与逆否命题等价、否命题与逆命题等价，知否命题和逆否命题均为假命题，故选A.答案：A3．下列命题是真命题的有()①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：只有①正确．答案：B4．下列语句是特称命题的是()A．整数10是2和5的倍数B．存在整数n，使n能被11整除C．若3x－7＝0，则x＝eq\f(7,3)D．任给x∈M，p(x)解析：A为“p且q”命题，D为全称命题，C为简单命题，故选B.答案：B5．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若x＋y＝0与x－ay＝0互相垂直，则x－ay＝0的斜率必定为1，故a＝1；若a＝1，直线x＋y＝0和直线x－y＝0显然垂直．答案：C6．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”等价于关于x的不等式：x3－x2＋1≤0恒成立，其否定为：x3－x2＋1≤0不恒成立；即存在x∈R，使得x3－x2答案：C7．命题“负数的平方是正数”隐含的量词是()A．有一个 B．有些C．不含有量词 D．任意一个解析：这是一个省略量词的全称命题．故选D.答案：D8．“a＝－1”是函数f(x)＝ax2＋(a－1)x－1有且只有一个零点的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝0时，函数f(x)也只有一个零点，故必要性不成立．答案：A9．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是()A．x<0 B．x≥0C．x∈{－1,3,5} D．x≤－eq\f(1,2)或x≥3解析：原不等式的解集为{x|x≤－eq\f(1,2)或x≥3}，其充分不必要条件应为其真子集．选项中只有C符合．答案：C10．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为()A．m≥3 B．m＜8C．m≥3或m＜8 D．3≤m＜8解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8，故实数m的取值范围为3≤m＜8，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．命题“若ab不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是______．解析：将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题．答案：若a，b至少有一个为零，则ab为零12．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的________条件．解析：由|x－1|<2，得－2<x－1<2⇔－1<x<3.由x(x－3)<0⇔0<x<3，显然，有－1<x<3⇐0<x<3.答案：必要不充分13．已知命题p：1∈{x|x2＜a}，q：2∈{x|x2＜a}，则“p且q”为真命题时a的取值范围是________．解析：由1∈{x|x2＜a}，得a＞1；由2∈{x|x2＜a}，得a＞4.当“p且q”为真命题时，有p真q真，所以a＞4.答案：a＞414．有下列四个命题：①“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”②“若sinα＋cosα＝eq\f(π,3)，则α是第一象限角”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的有________．解析：对于①，取x＝y＝－1，可知①是假命题；对于②，其否命题为“若sinα＋cosα≠eq\f(π,3)，则α不是第一象限角”．取α＝eq\f(π,4)，可知②是假命题；对于③，当b≤0时，Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，其逆否命题也为真命题；对于④，其逆命题为“若A⊆B，则A∪B＝B”是真命题．答案：③④三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是质数，q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：N⊆Z，q：0∈N.解析：(1)因为p假，q真，所以p或q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根，为真；p且q：1是质数且是方程x2＋2x－3＝0的根，为假；非p：1不是质数，为真．(2)因为p假，q假，所以p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p且q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p：平行四边形的对角线不一定相等，为真．(3)因为p真，q真，所以p或q：N⊆Z或0∈N，为真；p且q：N⊆Z且0∈N，为真；非p：N⃘Z，为假．16．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)m>eq\f(1,4)时，mx2－x＋1＝0无实根；(2)当ab＝0时，a＝0或b＝0.解析：(1)原命题：若m>eq\f(1,4)，则mx2－x＋1＝0无实根，是真命题；逆命题：若mx2－x＋1＝0无实根，则m>eq\f(1,4)，是真命题；否命题：若m≤eq\f(1,4)，则mx2－x＋1＝0有实根，是真命题；逆否命题：若mx2－x＋1＝0有实根，则m≤eq\f(1,4)，是真命题．(2)原命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，是真命题；逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，是真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，是真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，是真命题．17．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，a＜0；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围解析：设p：A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＝{x|3a＜x＜a，aq：B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x＜－4或x≥－2}．∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴AB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－4，,a＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a＜0，))解得－eq\f(2,3)≤a＜0或a≤－4.18．(14分)已知a>0.设命题p：函数y＝ax为减函数，命题q：当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，函数y＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,a)恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．解析：p为真命题⇔0<a<1，q为真命题⇔eq\f(1,a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))min，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).∵y＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是递减的，在[1,2]上是递增的．∴当x＝1时，y＝x＋eq\f(1,x)取最小值2，∴eq\f(1,a)<2，∴a>eq\f(1,