高中数学人教A版第一章集合与函数概念 一等奖

2023学年青海师大二附中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1．下列命题正确的是（）A．很小的实数可以构成集合B．集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合C．自然数集N中最小的数是1D．空集是任何集合的子集2．函数f（x）=﹣的定义域是（）A． B． C． D．3．已知M={x|y=x2﹣1}，N={y|y=x2﹣1}，M∩N等于（）A．N B．M C．R D．∅4．下列给出函数f（x）与g（x）的各组中，是同一个关于x的函数的是（）A．f（x）=x﹣1，g（x）= B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1C．f（x）=x2，g（x）= D．f（x）=1，g（x）=x05．已知函数f（x）=ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）=7，则f（3）的值为（）A．13 B．﹣13 C．7 D．﹣76．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞） D．（﹣∞，]7．在函数y=中，若f（x）=1，则x的值是（）A．1 B．1或 C．±1 D．8．设I是全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．M∩（P∩∁IN） B．M∩（N∩∁IP） C．M∩（∁IN∩∁IM） D．（M∩N）∪（M∩P）9．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x+1）=（）A．x2+8x+7 B．x2+6x C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣1010．已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤411．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣2），B（3，2）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜2的解集是（）A．（1，4） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，1）∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）12．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=2x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．若集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}，且N⊆M，则实数a的值为．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）=．15．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2023+b2023=．16．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f求A∪B；（∁RA）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．18．已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数，且f（a﹣1）＞f（2a），求a的取值范围．19．已知函数f（x）=x2+ax+b，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．20．已知奇函数，（1）求实数m的值（2）做y=f（x）的图象（不必写过程）（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求a的取值范围．21．是否存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+a的定义域为[﹣1，1]时，值域为[﹣2，2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．22．已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，设P：当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁RB（R为全集）．

2023学年青海师大二附中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1．下列命题正确的是（）A．很小的实数可以构成集合B．集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合C．自然数集N中最小的数是1D．空集是任何集合的子集【考点】集合的含义；子集与真子集．【分析】根据集合的确定性可知判定选项A，根据点集与数集的区别进行判定选项B，根据自然数的概念进行判定选项C，根据空集是任何集合的子集进行判定选项D即可．【解答】解：选项A，很小的实数可以构成集合中很小不确定，故不正确选项B，集合{y|y=x2﹣1}是数集，集合{（x，y）|y=x2﹣1}是点集，不是同一个集合，故不正确选项C，自然数集N中最小的数是0，故不正确，选项D，空集是任何集合的子集，故正确，故选D．2．函数f（x）=﹣的定义域是（）A． B． C． D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数式由两部分构成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解时既保证分式有意义，还要保证根式有意义．【解答】解：要使原函数有意义，需解得，所以函数的定义域为．故选C．3．已知M={x|y=x2﹣1}，N={y|y=x2﹣1}，M∩N等于（）A．N B．M C．R D．∅【考点】交集及其运算．【分析】首先化简集合M和N，然后根据交集的定义得出答案．【解答】解：∵M={x|y=x2﹣1}={x|x∈R}，N={y|y=x2﹣1}={y|y≥﹣1}，∴M∩N={y|y≥﹣1}=N故选：A．4．下列给出函数f（x）与g（x）的各组中，是同一个关于x的函数的是（）A．f（x）=x﹣1，g（x）= B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1C．f（x）=x2，g（x）= D．f（x）=1，g（x）=x0【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同即可．【解答】解：A．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．B．函数f（x）和g（x）的定义域为R，两个函数的定义域相同，但对应法则不相同，不是同一函数．C．函数g（x）=x2，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数．D．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．故选C．5．已知函数f（x）=ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）=7，则f（3）的值为（）A．13 B．﹣13 C．7 D．﹣7【考点】函数的值；奇函数．【分析】令g（x）=ax5﹣bx3+cx，则g（﹣3）=10，又g（x）为奇函数，故有g（3）=﹣10，故f（3）=g（3）﹣3．【解答】解：∵函数f（x）=ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）=7，令g（x）=ax5﹣bx3+cx，则g（﹣3）=10，又g（x）为奇函数，∴g（3）=﹣10，故f（3）=g（3）﹣3=﹣13，故选B．6．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞） D．（﹣∞，]【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选B．7．在函数y=中，若f（x）=1，则x的值是（）A．1 B．1或 C．±1 D．【考点】函数的值．【分析】利用函数的性质求解．【解答】解：∵函数y=中，f（x）=1，∴当x≤﹣1时，x+2=1，解得x=﹣1；当﹣1＜x＜2时，x2=1，解得x=1或x=﹣1（舍）；当x≥2时，2x=1，解得x=（舍）．综上得x=±1故选：C．8．设I是全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．M∩（P∩∁IN） B．M∩（N∩∁IP） C．M∩（∁IN∩∁IM） D．（M∩N）∪（M∩P）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】观察Venn图，得出图中的阴影部分表示的集合即可．【解答】解：观察图形得：图中的阴影部分表示的集合为M∩（N∩∁IP），故选：B．9．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x+1）=（）A．x2+8x+7 B．x2+6x C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣10【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由已知中f（x﹣1）=x2+4x﹣5，我们利用换元法（或凑配法）可以求出f（x）的解析式，进而再由代入法可以求出f（x+1）的解析式．【解答】解：∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，∴f（x）=x2+6x，∴f（x+1）=x2+8x+7故选A10．已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域是全体实数，得到mx2+mx+1≥0恒成立，即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）=的定义域是一切实数，则等价为mx2+mx+1≥0恒成立，若m=0，则不等式等价为1≥0，满足条件，若m≠0，则满足，即，解得0＜m≤4，综上0≤m≤4，故选：D11．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣2），B（3，2）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜2的解集是（）A．（1，4） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，1）∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】因为A（0，﹣2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，可知f（0）=﹣2，f（3）=2，所以不等式|f（x+1）|＜2可以变形为﹣2＜f（x+1）＜2，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根据函数f（x）是R上的增函数，去函数符号，解出x的范围就得不等式|f（x+1）|＜2的解集．【解答】解：不等式|f（x+1）|＜2可变形为﹣2＜f（x+1）＜2，∵A（0，﹣2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，∴f（0）=﹣2，f（3）=2，∴﹣2＜f（x+1）＜2等价于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），又∵函数f（x）是R上的增函数，∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等价于0＜x+1＜3，解得﹣1＜x＜2，∴不等式|f（x+1）|＜2的解集为（﹣1，2）．故选B．12．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=2x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3）【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；不等关系与不等式．【分析】因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=2﹣x，又由f（x）﹣g（x）=2x联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案．【解答】解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=2﹣x，即f（x）+g（x）=﹣2﹣x，又∵f（x）﹣g（x）=2x∴解得：f（x）=，g（x）=﹣，故f（x）单调递增，又f（0）=0，g（0）=﹣1，有g（0）＜f（2）＜f（3）故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．若集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}，且N⊆M，则实数a的值为或或0．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先求出集合M的元素，然后根据N⊆M，讨论集合N的可能性，最后分别求出每一种情形下a的取值即可．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}且N⊆M∴M={﹣3，2}N=∅或{﹣3}或{2}N=∅时，a=0，N={﹣3}时，a=﹣，N={2}时，a=，故答案为：．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣2x．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】要求x＜0时的函数解析式，先设x＜0，则﹣x＞0，﹣x就满足函数解析式f（x）=x2﹣2x，用﹣x代替x，可得，x＜0时，f（﹣x）的表达式，再根据函数的奇偶性，求出此时的f（x）即可．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣2x故答案为﹣x2﹣2x15．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2023+b2023=﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据两个集合相等的关系，求得a，b的值，再求a2023+b2023的值．【解答】解：由题意，0∈{a，，1}及a≠0，可得=0，即b=0，从而{a，0，1}={a，a2，0}，进而有a2=1，即a=﹣1或1（舍去）（集合元素的互异性），故a2023+b2023=﹣1．故答案为：﹣1．16．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f•f（x+2）=13变形得出f（x+2）=，继而得出f（x+4）=f（x），利用周期性解决．【解答】解：由已知，f（x）≠0．∵f（x）•f（x+2）=13，∴f（x+2）=，f（x+4）=f[（x+2）+2]==f（x）∴f（x）是周期函数，f=f（1）=2故答案为：2三、解答题：解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁RA）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．【分析】（1）先通过解二次不等式化简集合B，利用并集的定义求出A∪B，利用补集的定义求出CRA，进一步利用交集的定义求出（CRA）∩B；（2）根据交集的定义要使A∩C≠∅，得到a＞3．【解答】解：（1）B═{x|x2﹣12x+20＜0}={x|2＜x＜10}；因为A={x|3≤x＜7}，所以A∪B={x|2＜x＜10}；因为A={x|3≤x＜7}，所以CRA={x|x＜3或x≥7}；（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（2）因为A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}．A∩C≠∅，所以a＞3．18．已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数，且f（a﹣1）＞f（2a），求a的取值范围．【考点】函数单调性的性质．【分析】用单调性定义求解，由“在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数”则有自变量在区间内，且自变量变化与函数值变化异向．【解答】解：依题意得：，解得：．19．已知函数f（x）=x2+ax+b，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）由f（1+x）=f（1﹣x）可得函数关于x=1对称，然后求实数a的值；（Ⅱ）利用单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）方法1：由f（1+x）=f（1﹣x）得，（1+x）2+a（1+x）+b=（1﹣x）2+a（1﹣x）+b，整理得：（a+2）x=0，由于对任意的x都成立，∴a=﹣2．方法2：由f（1+x）=f（1﹣x）得，函数关于x=1对称，则对称轴为，解得a=﹣2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知f（x）=x2﹣2x+b，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．设x1＞x2≥1，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（）﹣2（x1﹣x2）=（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）∵x1＞x2≥1，则x1﹣x2＞0，且x1+x2﹣2＞2﹣2=0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．20．已知奇函数，（1）求实数m的值（2）做y=f（x）的图象（不必写过程）（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【分析】（1）求出x＜0时，函数的解析式，即可求得m的值；（2）分段作出函数的图象，即可得到y=f（x）的图象；（3）根据图象，利用函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，建立不等式，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣2x∵函数是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+2x（x＜0）∴m=2；（2）函数图象如图所示：（3）由图象可知，﹣1＜a﹣2≤1，∴1＜a≤3．21．是否存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+a的定义域为[﹣1，1]时，值域为[﹣2，2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】由于函数f（x）=x2﹣2ax+a的对称轴为x=a，分a＜﹣1、0＞a≥﹣1、1＞a≥0、a≥1四种情况利用函数的单调性以及定义域、值域求出a的值．【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣2ax+a的对称轴为x=a，当a＜﹣1时，函数f（x）=x2﹣2ax+a在定义域[﹣1，1]上是增函数，故有，解得a=﹣1（舍去）．当0＞a≥﹣1时，函数f（x）