高中数学人教A版5不等式和绝对值不等式学业分层测评2

学业分层测评（二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)的最大值为()\f(2,5)\f(1,2)\f(\r(2),2)D．1【解析】显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2eq\r(x)，∴f(x)≤eq\f(1,2)，当且仅当x＝1时，等号成立，∴f(x)max＝eq\f(1,2).【答案】B2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)B．a＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜bC．a＜eq\r(ab)＜b＜eq\f(a＋b,2)\r(ab)＜a＜eq\f(a＋b,2)＜b【解析】取特殊值法．取a＝2，b＝8，则eq\r(ab)＝4，eq\f(a＋b,2)＝5，所以a＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜b.故选B.【答案】B3．已知x≥eq\f(5,2)，则f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值为eq\f(5,4) B．最小值为eq\f(5,4)C．最大值为1 D.最小值为1【解析】∵x≥eq\f(5,2)，∴x－2≥eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(x－22＋1,2x－2)＝eq\f(1,2)(x－2)＋eq\f(1,2x－2)≥2eq\r(\f(x－2,2)·\f(1,2x－2))＝1，当且仅当eq\f(x－2,2)＝eq\f(1,2x－2)，即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.【答案】D4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 【解析】由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴eq\f(a＋b2,cd)≥4，当且仅当x＝y时，取等号．【答案】D5．已知a，b是不相等的正数，x＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq\r(a＋b)，则x，y的关系是()A．x>y B．y>xC．x>eq\r(2)y >eq\r(2)x【解析】因为a，b是不相等的正数，所以x2＝eq\f(a＋b,2)＋eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)＋eq\f(a＋b,2)＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.【答案】B二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.【导学号：32750010】【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－eq\f(x＋y2,4)＝eq\f(3,4)(x＋y)2，∴(x＋y)2≤eq\f(4,3)，∴|x＋y|≤eq\f(2,3)eq\r(3)，即x＋y的最大值为eq\f(2,3)eq\r(3).【答案】eq\f(2,3)eq\r(3)7．已知x，y∈R＋，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．【解析】因为x＞0，y＞0，所以eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))＝eq\r(\f(xy,3))，即eq\r(\f(xy,3))≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.【答案】38．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝eq\r(2)时，取“＝”，∴所求最小值为2.【答案】2三、解答题9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.【解】∵x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(bx,y)＋eq\f(ay,x)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2，当且仅当eq\f(bx,y)＝eq\f(ay,x)时取等号．又(x＋y)min＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝18，即a＋b＋2eq\r(ab)＝18. ①又a＋b＝10， ②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,b＝2.))10．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：eq\f(x\o\al(2,2),x1)＋eq\f(x\o\al(2,3),x2)＋eq\f(x\o\al(2,1),x3)≥1.【证明】∵eq\f(x\o\al(2,2),x1)＋x1＋eq\f(x\o\al(2,3),x2)＋x2＋eq\f(x\o\al(2,1),x3)＋x3≥2eq\r(x\o\al(2,2))＋2eq\r(x\o\al(2,3))＋2eq\r(x\o\al(2,1))＝2(x1＋x2＋x3)＝2，∴eq\f(x\o\al(2,2),x1)＋eq\f(x\o\al(2,3),x2)＋eq\f(x\o\al(2,1),x3)≥1.[能力提升]1．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()A．40 B．10C．4 【解析】因为x，y∈R＋，∴eq\r(4xy)≤eq\f(x＋4y,2)，∴eq\r(xy)≤eq\f(x＋4y,4)＝10，∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.【答案】D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处 B．4千米处C．3千米处 千米处【解析】由已知：y1＝eq\f(20,x)，y2＝(x为仓库到车站的距离)．费用之和y＝y1＋y2＝＋eq\f(20,x)≥2eq\r·\f(20,x))＝8.当且仅当＝eq\f(20,x)，即x＝5时等号成立．【答案】A3．y＝eq\f(3＋x＋x2,x＋1)(x＞0)的最小值是________．【解析】∵x＞0，∴y＝eq\f(3＋x＋x2,x＋1)＝eq\f(3,x＋1)＋x＋1－1≥2eq\r(3)－1.当且仅当x＋1＝eq\r(3)时取等号．【答案】2eq\r(3)－14．若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，求实数a的取值范围.【导学号：32750011】【解】由x>0，知原不等式等价于0<eq\f(1,a)≤eq\f(x2＋3x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)＋3恒成立．又x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，∴x