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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A. B.C. D.2.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点(设点位于第一象限),过点,分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为点,,抛物线的准线交轴于点,若,则直线的斜率为A.1 B. C. D.3.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是()A. B. C. D.4.已知,则的大小关系为A. B. C. D.5.若复数满足,其中为虚数单位,是的共轭复数,则复数()A. B. C.4 D.56.刘徽(约公元225年-295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到的近似值为()A. B. C. D.7.已知椭圆内有一条以点为中点的弦,则直线的方程为()A. B.C. D.8.复数().A. B. C. D.9.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()A. B. C. D.10.已知函数在区间有三个零点,,,且,若,则的最小正周期为()A. B. C. D.11.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.若x,y满足约束条件则z=的取值范围为()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图在三棱柱中,,,,点为线段上一动点,则的最小值为________.14.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例:勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数,则这3个数能构成勾股数的概率为__________.15.春天即将来临,某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株,设为其中成活的株数,若的方差,,则________.16.已知函数,若函数有6个零点,则实数的取值范围是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,是矩形,的顶点在边上,点,分别是,上的动点(的长度满足需求).设,,,且满足.(1)求;(2)若,,求的最大值.18.(12分)如图,在正四棱锥中,,,为上的四等分点,即.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,的面积为.(1)求证:;(2)若,求的值.20.(12分)已知数列满足(),数列的前项和,(),且,.(1)求数列的通项公式:(2)求数列的通项公式.(3)设,记是数列的前项和,求正整数,使得对于任意的均有.21.(12分)已知圆的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是是参数),若直线与圆相切,求实数的值.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,,为等腰直角三角形,,平面底面,为的中点.(1)求证:平面;(2)若平面与平面的交线为,求二面角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用是偶函数化简,结合在区间上的单调性,比较出三者的大小关系.【详解】是偶函数,,而,因为在上递减,,即.故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小,属于基础题.2、C【解析】

根据抛物线定义,可得,,又,所以,所以,设,则,则,所以,所以直线的斜率.故选C.3、B【解析】

根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:,第一步:,此时不能输出,继续循环;第二步:,此时不能输出,继续循环;第三步:,此时不能输出,继续循环;第四步:,此时不能输出,继续循环;第五步:,此时不能输出,继续循环;第六步:,此时要输出,结束循环;故,判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.4、D【解析】

分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.5、D【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.【详解】解:复数z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题.6、A【解析】

设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.7、C【解析】

设,,则,,相减得到,解得答案.【详解】设,,设直线斜率为,则,,相减得到:,的中点为,即,故,直线的方程为:.故选:.【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.8、A【解析】试题分析:,故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式的乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.9、A【解析】

根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时,单调递减时,单调递增又且,即本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题,关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性,通过自变量的大小关系求得结果.10、C【解析】

根据题意,知当时,,由对称轴的性质可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【详解】解:由于在区间有三个零点,,,当时,,∴由对称轴可知,满足,即.同理,满足,即,∴,,所以最小正周期为:.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,涉及函数的对称性的应用,考查计算能力.11、D【解析】

先求出的值域,再利用导数讨论函数在区间上的单调性,结合函数值域,由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为,故,当时,,故在区间上单调递减;当时,,故在区间上单调递增;当时,令,解得,故在区间单调递减,在区间上单调递增.又,且当趋近于零时,趋近于正无穷;对函数,当时,;根据题意,对,且,使得成立,只需,即可得,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题,涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题,属综合困难题.12、D【解析】

由题意作出可行域,转化目标函数为连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数,数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域,如图,目标函数可表示连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数,由图可知,直线的斜率最小,直线的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故选:D.【点睛】本题考查了非线性规划的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

把绕着进行旋转,当四点共面时,运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面,展开图如图所示,若,,三点共线时最小为,为直角三角形,故答案为:【点睛】本题考查了空间几何体的翻折,平面内两点之间线段最短,解直角三角形进行求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于中档题.14、【解析】

由组合数结合古典概型求解即可【详解】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法,其中能构成勾股数的有共三种,所以,所求概率为.故答案为【点睛】本题考查古典概型与数学文化,考查组合问题,数据处理能力和应用意识.15、【解析】

由题意可知:,且,从而可得值.【详解】由题意可知:∴,即,∴故答案为:【点睛】本题考查二项分布的实际应用,考查分析问题解决问题的能力,考查计算能力,属于中档题.16、【解析】

由题意首先研究函数的性质,然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式,求解不等式即可确定实数a的取值范围.【详解】当时,函数在区间上单调递增,很明显,且存在唯一的实数满足,当时,由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且当时,,考查函数在区间上的性质,由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,函数有6个零点,即方程有6个根,也就是有6个根,即与有6个不同交点,注意到函数关于直线对称,则函数关于直线对称,绘制函数的图像如图所示,观察可得:,即.综上可得,实数的取值范围是.故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的应用,复合函数的单调性,数形结合的数学思想,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理和余弦定理化简,根据勾股定理逆定理求得.(2)设,由此求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)设,,,由,根据正弦定理和余弦定理得.化简整理得.由勾股定理逆定理得.(2)设,,由(1)的结论知.在中,,由,所以.在中,,由,所以.所以,由,所以当,即时,取得最大值,且最大值为.【点睛】本小题考查正弦定理,余弦定理,勾股定理,解三角形,三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转换思想,应用意识.18、(1)答案见解析.(2)【解析】

(1)根据题意可得,在中,利用余弦定理可得,然后同理可得,利用面面垂直的判定定理即可求解.(2)以为原点建立直角坐标系,求出面的法向量为,的法向量为,利用空间向量的数量积即可求解.【详解】(1)由由因为是正四棱锥,故于是,由余弦定理,在中,设再用余弦定理,在中,∴是直角,同理,而在平面上,∴平面平面(2)以为原点建立直角坐标系,如图:则设面的法向量为,的法向量为则,取于是,二面角的余弦值为:【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角,属于基础题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)利用,利用正弦定理,化简即可证明(2)利用(1),得到当时,,得出,得出,然后可得【详解】证明:(1)据题意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴当时,.又,∴,∴,∴.【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用,属于基础题20、(1)().(2),.(3)【解析】

(1)依题意先求出,然后根据,求出的通项公式为,再检验的情况即可;(2)由递推公式,得,结合数列性质可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;(3)通过(1)、(2)可得,所以,,,,.记,利用函数单调性可求的范围,从而列不等式可解.【详解】解:(1)因为数列满足()①;②当时,.检验当时,成立.所以,数列的通项公式为().(2)由,得,①所以,.②由①②,得,,即,,③所以,,.④由③④,得,,因为,所以,上式同除以,得,,即,所以,数列时首项为1,公差为1的等差数列,故,.(3)因为.所以,,,,.记,当时,.所以,当时,数列为单调递减,当时,.从而,当时,.因此,.所以,对任意的,.综上,.【点睛】本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单

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