高中数学北师大版第一章立体几何初步 单元测试二点线面之间的位置关系

单元测试二点、线、面之间的位置关系班级____姓名____考号____分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α答案：B2．下列说法正确的是()A．经过空间三点有且只有一个平面B．经过圆心和圆上两点有且只有一个平面C．若三条直线两两相交，则这三条直线共面D．经过两条平行直线有且只有一个平面答案：D3．a、b是异面直线，则()A．存在α⊥a，α⊥bB．一定存在a⊂α且b⊥αC．一定存在a⊂α且α∥bD．一定存在α∥a且α⊥b答案：C解析：A与线面垂直性质定理矛盾；B当a与b不垂直时不成立；D不一定成立．4．若平面α外有一条直线l与α内的两条平行线都垂直，则()A．l⊥αB．l∥αC．l与α斜交D．以上都有可能答案：D解析：因为平面外的直线与α内的两条平行线垂直，所以不能确定l与α的具体位置关系，它们可能垂直，也可能斜交或平行．5．下列说法不正确的是()A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥dC．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是CC1的中点，则直线AE，D1F异面D．梯形一定是平面图形答案：C6．直线l不垂直于α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线答案：C解析：不管l与平面α关系如何，过l一定可找到一平面β，在β内可做一直线l′⊥l，然后将l′平行平移到α内，再在α内作l′的平行线，由空间两直线垂直的定义可知，在α内有无数条直线与l垂直．故选C.7．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β答案：C解析：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．8．如右图所示，A∈α，B∈l，C∈l，D∈β，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，P是棱l上的一个动点，则AP＋PD的最小值为()\r(5)B．2eq\r(2)C．3\r(10)答案：D解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE∥BC，延长DC交AE于E，则AE＝BC＝1，EC＝1，∴在Rt△AED中有AD＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).9．已知三平面α、β、γ互相平行，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，若AB＝10，eq\f(DE,DF)＝eq\f(1,2)，则AC等于()A．5B．10C．15D．20答案：D解析：连接AF交β于G，连接AD，BG，GE，CF，在△ACF中，由β∥γ得BG∥CF，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(AG,AF)，在△AFD中，由α∥β得AD∥GE，∴eq\f(AG,AF)＝eq\f(DE,DF)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DE,DF)＝eq\f(1,2)，又AB＝10，∴AC＝20.10．在下列四个正方体中(如图所示)，能得出AB⊥CD的是()答案：A解析：由线面垂直可判定异面直线是否垂直．二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．在棱长都相等的三棱锥P－ABC中，相互垂直的棱的对数为__________．答案：312．已知∠ABC＝120°，∠ABC与∠A1B1C1的两边分别平行，则∠A1B1C1＝________.答案：60°或120°13．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的________．(填内心、外心、垂心、重心中的一个)答案：垂心解析：如图所示，∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥PA.又∵BC⊥PH∴BC⊥平面PAH，AH⊂平面PAH∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB.∴H是△ABC的垂心．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．如图所示，已知三角形ABC中∠ACB＝90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥面SBC.证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.∴BC⊥面SAC，∴BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥面SBC.15．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN.求证：MN∥平面BB1C1C.证明：如图所示作NE∥AB交BC于E，作MF∥AB交B1B于F，连结EF，则NE∥MF.∵NE∥AB，∴eq\f(NE,AB)＝eq\f(CN,CA)又MF∥AB∥A1B1，∴eq\f(MF,A1B1)＝eq\f(BM,BA1)∵CA＝BA1，AN＝A1M，∴CN＝BM.∴eq\f(NE,AB)＝eq\f(MF,A1B1).又AB＝A1B1，∴NE＝MF.∴四边形MNEF是平行四边形，∴MN綊EF.又MN⊄平面B1BCC1，EF⊂平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1.16.如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC＝AD＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，CE＝2，G、F分别为BE、BC的中点．求证：(1)AB⊥平面ACED；(2)平面BDE⊥平面BCE.解：(1)∵AD⊥平面ABC，AD⊂平面ACED，∴平面ABC⊥平面ACED，∵BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC，∵平面ABC∩平面ACED＝AC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥平面ACED.(2)∵AB＝AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥AF，又∵BC∩CE＝C，∴AF⊥平面BCE，又GF是△BCE的中位线，∴GF綊eq\f(1,2)CE.∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD＝1，CE＝2，∴AD綊eq\f(1,2)CE，∴AD綊GF，∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE.17.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．(1)求证：CD∥平面A1EB；(2)求证：AB1⊥平面A1EB.解：(1)设AB1和A1B的交点为O，连结EO、OD，∵O为AB1的中点，D为AB的中点，∴OD∥BB1，且OD＝eq\f(1,2)BB1.又E是CC1中点，∴EC∥BB1，且EC＝eq\f(1,2)BB1，∴EC∥OD且EC＝OD.∴四边形ECDO为平行四边形，∴EO∥CD.又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE.(2)∵三棱柱各侧面都是正方形，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC.∴BB1⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC，∴BB1⊥CD.由已知得AB＝BC＝AC，∴CD⊥AB，∴CD⊥平面A1ABB1.由(1)可知EO∥CD，∴EO⊥平面A1ABB1，∴EO⊥AB1.∵侧面是正方形，所以AB1⊥A1B.又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，∴AB1⊥平面A1BE.18．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)证明：直线BD⊥平面PEG.解：(1)该安全标识墩左视图，如图所示．(2)证明：由题设