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文档简介
2023年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的定义域为()A.或 B.或C. D.2.波罗尼斯(古希腊数学家,的公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆=1(a>b>0),A,B为椭圆的长轴端点,C,D为椭圆的短轴端点,动点M满足=2,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.3.已知全集,集合,,则()A. B. C. D.4.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.5.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,27.设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点,使,且,则双曲线的离心率为()A. B.2 C. D.8.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B.i C.–1 D.19.已知向量,满足||=1,||=2,且与的夹角为120°,则=()A. B. C. D.10.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.“若,则”的逆命题为真命题C.,使成立D.“若,则”是真命题11.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()A. B. C. D.12.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的值域为_________.14.在数列中,已知,则数列的的前项和为__________.15.设、满足约束条件,若的最小值是,则的值为__________.16.若函数满足:①是偶函数;②的图象关于点对称.则同时满足①②的,的一组值可以分别是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列,其前项和为,若对于任意,,且,都有.(1)求证:数列是等差数列(2)若数列满足,且等差数列的公差为,存在正整数,使得,求的最小值.18.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)过点(0,),且满足a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为的直线与椭圆C交于两个不同点A,B,点M坐标为(2,1),设直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?并说明理由.19.(12分)已知函数,.(1)若对于任意实数,恒成立,求实数的范围;(2)当时,是否存在实数,使曲线:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.20.(12分)在平面四边形(图①)中,与均为直角三角形且有公共斜边,设,∠,∠,将沿折起,构成如图②所示的三棱锥,且使=.(1)求证:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)如图,在直角中,,通过以直线为轴顺时针旋转得到().点为斜边上一点.点为线段上一点,且.(1)证明:平面;(2)当直线与平面所成的角取最大值时,求二面角的正弦值.22.(10分)已知函数,其中.(1)讨论函数的零点个数;(2)求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得,解得或.因此,函数的定义域为或.故选:A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.2、D【解析】
求得定点M的轨迹方程可得,解得a,b即可.【详解】设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵动点M满足=2,则=2,化简得.∵△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,∴,解得,∴椭圆的离心率为.故选D.【点睛】本题考查了椭圆离心率,动点轨迹,属于中档题.3、B【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可.【详解】解:全集,集合,,则,故选:.【点睛】本题考查集合的基本运算,属于基础题.4、D【解析】
先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到,利用二次函数的性质可求,从而可得的取值范围.【详解】由题设有,故,故椭圆,因为点为上的任意一点,故.又,因为,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,一般地,如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有,我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题,本题属于基础题.5、A【解析】
根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.6、C【解析】
先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C.【点睛】本题考查集合补集的运算,求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义,属于简单题.7、A【解析】
由及双曲线定义得和(用表示),然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率.【详解】由题意∵,∴由双曲线定义得,从而得,,在中,由余弦定理得,化简得.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离,再由余弦定理得出的齐次式.8、C【解析】
利用复数的四则运算可得,即可得答案.【详解】∵,∴,∴,∴复数的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.9、D【解析】
先计算,然后将进行平方,,可得结果.【详解】由题意可得:∴∴则.故选:D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算,属基础题。10、D【解析】选项A,否命题为“若,则”,故A不正确.选项B,逆命题为“若,则”,为假命题,故B不正确.选项C,由题意知对,都有,故C不正确.选项D,命题的逆否命题“若,则”为真命题,故“若,则”是真命题,所以D正确.选D.11、D【解析】
把5本书编号,然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.【详解】3本不同的语文书编号为,2本不同的数学书编号为,从中任意取出2本,所有的可能为:共10个,恰好都是数学书的只有一种,∴所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查古典概型,解题方法是列举法,用列举法写出所有的基本事件,然后计数计算概率.12、A【解析】
由题意可得,即,代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同,可得:,即,∴,可得,双曲线的渐近线方程为:,故选:A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用换元法,得到,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得到函数的值域,得到答案.【详解】由题意,可得,令,,即,则,当时,,当时,,即在为增函数,在为减函数,又,,,故函数的值域为:.【点睛】本题主要考查了三角函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性与最值,其中解答中合理利用换元法得到函数,再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了推理与预算能力,属于基础题.14、【解析】
由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列,求其通项公式,得到,再由求解.【详解】解:由,得,,则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列.,..故答案为:.【点睛】本题考查数列递推式,考查等差数列与等比数列的通项公式,训练了数列的分组求和,属于中档题.15、【解析】
画出满足条件的平面区域,求出交点的坐标,由得,显然直线过时,最小,代入求出的值即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,则点.由得,显然当直线过时,该直线轴上的截距最小,此时最小,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.16、,【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称,即可求出满足条件的和.【详解】由是偶函数及,可取,则,由的图象关于点对称,得,,即,,可取.故,的一组值可以分别是,.故答案为:,.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)用数学归纳法证明即可;(2)根据条件可得,然后将用,,表示出来,根据是一个整数,可得结果.【详解】解:(1)令,,则即∴,∴成等差数列,下面用数学归纳法证明数列是等差数列,假设成等差数列,其中,公差为,令,,∴,∴,即,∴成等差数列,∴数列是等差数列;(2),,若存在正整数,使得是整数,则,设,,∴是一个整数,∴,从而又当时,有,综上,的最小值为.【点睛】本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质,关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列,属于难题.18、(1)(2)k1+k2为定值0,见解析【解析】
(1)利用已知条件直接求解,得到椭圆的方程;(2)设直线在轴上的截距为,推出直线方程,然后将直线与椭圆联立,设,利用韦达定理求出,然后化简求解即可.【详解】(1)由椭圆过点(0,),则,又a+b=3,所以,故椭圆的方程为;(2),证明如下:设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为:,由得:,由得,设,则,所以,又,所以,故.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了方程的思想,转化与化归的思想,考查了学生的运算求解能力.19、(1);(2)不存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直.【解析】
(1)分类时,恒成立,时,分离参数为,引入新函数,利用导数求得函数最值即可;(2),导出导函数,问题转化为在上有解.再用导数研究的性质可得.【详解】解:(1)因为当时,恒成立,所以,若,为任意实数,恒成立.若,恒成立,即当时,,设,,当时,,则在上单调递增,当时,,则在上单调递减,所以当时,取得最大值.,所以,要使时,恒成立,的取值范围为.(2)由题意,曲线为:.令,所以,设,则,当时,,故在上为增函数,因此在区间上的最小值,所以,当时,,,所以,曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.而,即方程无实数解.故不存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直.【点睛】本题考查不等式恒成立,考查用导数的几何意义,由导数几何把问题进行转化是解题关键.本题属于困难题.20、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)取AB的中点O,连接,证得,从而证得C′O⊥平面ABD,再结合面面垂直的判定定理,即可证得平面⊥平面;(2)以O为原点,AB,OC所在的直线为y轴,z轴,建立的空间直角坐标系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.【详解】(1)取AB的中点O,连接,,在Rt△和Rt△ADB中,AB=2,则=DO=1,又C′D=,所以,即⊥OD,又⊥AB,且AB∩OD=O,平面ABD,所以⊥平面ABD,又C′O⊂平面,所以平面⊥平面DAB(2)以O为原点,AB,OC所在的直线为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C′(0,0,1),,所以,,,设平面的法向量为=(),则,即,代入坐标得,令,得,,所以,设平面的法向量为=(),则,即,代入坐标得,令,得,,所以,所以,所以二面角A-C′D-B的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明,以及空间角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.21、(1)见解析;(2)【解析】
(1)先算出的长度,利用勾股定理证明,再由已知可得,利用线面垂直的判定定理即可证明;(2)由(1)可得为直线与平面所成的角,要使其最大,则应最小,可得为中点,然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,进一步得到正弦值.【详解】(1)在中,,由余弦定理得,∴,∴,由题意可知:∴,,,∴平面,平面,∴,又,∴平面.(2)以为坐标原点,以,,的方向为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系.∵平面,∴在平面上的射影是,∴与平面所成的角是,∴最大时,即,点为中点.,,,,,,,设平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,同理,设平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,∴,,故二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值,考查学生的运算求解能力,是一道中档题.22、(1)时,有
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