高中数学人教A版5柯西不等式与排序不等式单元测试 章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①一般形式的柯西不等式②柯西不等式的三角形式③反序和④顺序和⑤排序原理利用柯西不等式证明简单不等式柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：eq\r(13a＋1)＋eq\r(13b＋1)＋eq\r(13c＋1)≤4eq\r(3).【规范解答】因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝(eq\r(13a＋1)，eq\r(13b＋1)，eq\r(13c＋1))，n＝(1,1,1)，则|m·n|2＝(eq\r(13a＋1)＋eq\r(13b＋1)＋eq\r(13c＋1))2，|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48.∵|m·n|2≤|m|2·|n|2，∴(eq\r(13a＋1))＋eq\r(13b＋1)＋eq\r(13c＋1))2≤48，∴eq\r(13a＋1)＋eq\r(13b＋1)＋eq\r(13c＋1)≤4eq\r(3).[再练一题]1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：eq\f(a2,a＋x)＋eq\f(b2,b＋y)≥eq\f(a＋b,2).【证明】∵a，b，x，y都大于0，且x＋y＝a＋b.由柯西不等式，知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a＋x)＋\f(b2,b＋y)))[(a＋x)＋(b＋y)]≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a＋x))·\r(a＋x)＋\f(b,\r(b＋y))·\r(b＋y)))2＝(a＋b)2.又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0，所以eq\f(a2,a＋x)＋eq\f(b2,b＋y)≥eq\f(a＋b,2).排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b).【规范解答】由于不等式关于a，b，c对称，可设a≥b≥c>0.于是a2≥b2≥c2，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a).由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a2·eq\f(1,a)＋b2·eq\f(1,b)＋c2·eq\f(1,c)≤a2·eq\f(1,b)＋b2·eq\f(1,c)＋c2·eq\f(1,a)，及a2·eq\f(1,a)＋b2·eq\f(1,b)＋c2·eq\f(1,c)≤a2·eq\f(1,c)＋b2·eq\f(1,a)＋c2·eq\f(1,b).以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．[再练一题]2．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.【证明】不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4.又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.利用柯西不等式、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求eq\r(3a)＋eq\r(2b)＋eq\r(c)的最大值．【规范解答】由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知(a＋2b＋3c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))＝[(eq\r(a))2＋(eq\r(2b))2＋(eq\r(3c))2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)2＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)·\r(a)＋1·\r(2b)＋\f(1,\r(3))·\r(3c)))2＝(eq\r(3a)＋eq\r(2b)＋eq\r(c))2，∴(eq\r(3a)＋eq\r(2b)＋eq\r(c))2≤eq\f(132,3)，即eq\r(3a)＋eq\r(2b)＋eq\r(c)≤eq\f(13\r(3),3)，当且仅当eq\f(\r(a),\r(3))＝eq\f(\r(2b),1)＝eq\f(\r(3c),\f(1,\r(3)))时取等号．又a＋2b＋3c＝13，∴当a＝9，b＝eq\f(3,2)，c＝eq\f(1,3)时，eq\r(3a)＋eq\r(2b)＋eq\r(c)取得最大值为eq\f(13\r(3),3).[再练一题]3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值.【导学号：32750060】【解】a＋b＋c＋d＋e＝eq\r(a＋b＋c＋d＋e2)≤eq\r(a2＋b2＋c2＋d2＋e212＋12＋12＋12＋12)≤eq\r(16×5)＝4eq\r(5)，所以a＋b＋c＋d＋e的最大值是4eq\r(5).1．已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2<x<4}．(1)求实数a，b的值；(2)求eq\r(at＋12)＋eq\r(bt)的最大值．【解】(1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b－a＝2，,b－a＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1.))(2)eq\r(－3t＋12)＋eq\r(t)＝eq\r(3)eq\r(4－t)＋eq\r(t)≤eq\r([\r(3)2＋12][\r(4－t)2＋\r(t)2])＝2eq\r(4－t＋t)＝4，当且仅当eq\f(\r(4－t),\r(3))＝eq\f(\r(t),1)，即t＝1时等号成立，故(eq\r(－3t＋12)＋eq\r(t))max＝4.2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,9)b2＋c2的最小值．【解】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋\f(1,9)b2＋c2))(4＋9＋1)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)×2＋\f(b,3)×3＋c×1))2＝(a＋b＋c)2＝16，即eq\f(1,4)a2＋eq