高中数学苏教版1第3章导数及其应用3．1导数的概念学业分层测评14

学业分层测评(十四)瞬时变化率—导数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.若f′(x0)＝1，则当k→0时，eq\f(fx0－k－fx0,2k)趋于常数________.【解析】由题意，当k→0时，eq\f(fx0－k－fx0,－k)→1，所以eq\f(fx0－k－fx0,2k)＝－eq\f(1,2)·eq\f(fx0－k－fx0,－k)→－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)2.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则f′(2)等于________.【导学号：24830068】【解析】由题意知k＝1，∴f′(2)等于1.【答案】13.函数y＝3x＋2在x＝－1处的导数为________.【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3－1＋Δx＋2－3×－1－2,Δx)＝3.当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→3.【答案】34.函数y＝eq\f(4,x2)在x＝x0处的导数为________.【解析】∵Δy＝eq\f(4,x0＋Δx2)－eq\f(4,x\o\al(2,0))＝－eq\f(4Δx2x0＋Δx,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－4×eq\f(2x0＋Δx,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→－eq\f(8,x\o\al(3,0))，即函数y＝eq\f(4,x2)在x＝x0处的导数为－eq\f(8,x\o\al(3,0)).【答案】－eq\f(8,x\o\al(3,0))5.一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(s，单位：m，t，单位：s)，则这辆车在t＝3s时的瞬时速度为________.【解析】这辆汽车从3s到(3＋Δt)s这段时间内的位移增量为Δs＝3(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3Δt2＋18Δt,Δt)＝3Δt＋18，当Δt→0时，3Δt＋18→18.∴t＝3s时瞬时速度为18m/s.【答案】18m/s6.如果某物体的运动的速度为v(t)＝2(1－t2)，那么其在s末的加速度为________.【解析】eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v＋Δt－v,Δt)＝eq\f(2×－2＋Δt2,Δt)＝－－2Δt，当Δt→0时，eq\f(Δv,Δt)→－.【答案】－7.曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________.【解析】Δy＝[(1＋Δx)3－(1＋Δx)＋3]－3＝2Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，则eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋3Δx2＋Δx3,Δx)＝2＋3Δx＋(Δx)2，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2，即k＝2.故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.【答案】2x－y＋1＝08.设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________.【解析】设点P的坐标为(x0，y0)∵eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(2x0Δx＋Δx2,Δx)＝2x0＋Δx.当Δx→0时，k＝f′(x0)＝2x0＝3.∴x0＝eq\f(3,2)，将x0＝eq\f(3,2)代入y＝x2得y0＝eq\f(9,4)，∴P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))二、解答题9.若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，,29＋3t－32，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥3，,0≤t<3，))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度.【导学号：24830069】【解】(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度.∵物体在t＝0附近的平均变化率为：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为：lieq\o(m,\s\do4(,Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(,Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率.∵物体在t＝1附近的平均变化率为：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为lieq\o(m,\s\do4(,Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(,Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.10.求函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在x＝eq\f(8,3)处的导数.【解】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx＋\f(4,x0＋Δx)－x0－\f(4,x0),Δx)＝1－eq\f(4,x0x0＋Δx)，当Δx→0时得f′(x0)＝1－eq\f(4,x\o\al(2,0))，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))＝1－eq\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))2)＝1－eq\f(36,64)＝eq\f(28,64)＝eq\f(7,16).∴f(x)在x＝eq\f(8,3)处的导数为eq\f(7,16).[能力提升]1.曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为________.【解析】∵点(－1,1)在曲线y＝eq\f(x,x＋2)上，∴先求y＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)在x＝－1处的导数，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\f(\f(－1＋Δx,1＋Δx)＋1,Δx)＝eq\f(2,1＋Δx)，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2，故所求切线的斜率为k＝2.∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.【答案】y＝2x＋12.已知曲线y＝eq\f(3,\r(x))上有一点A(1,3)，则曲线在点A处的切线的斜率为________.【导学号：24830070】【解析】∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(3,\r(1＋Δx))－3,Δx)＝eq\f(\f(3－3\r(1＋Δx),\r(1＋Δx)),Δx)＝eq\f(－9,\r(1＋Δx)·3＋3\r(1＋Δx))，当Δx→0时，得f′(1)＝eq\f(－9,3＋3)＝－eq\f(3,2)，即所求切线的斜率k＝f′(1)＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)3.函数f(x)的图象如图3­1­2所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，eq\f(f3－f1,2)的大小关系为________.图3­1­2【解析】设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示.则eq\f(f3－f1,3－1)＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ<kAB<kAT，所以0<f′(3)<eq\f(f3－f1,2)<f′(1).【答案】0<f′(3)<eq\f(f3－f1,2)<f′(1)4.已知点P在曲线y＝x2＋1上，若曲线y＝x2＋1在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.【解】设点P(x0，y0)，易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线的斜率存在，设为k，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx2＋1－x\o\al(2,0)－1,Δx)＝2x0＋Δx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2x0，即k＝2x0，所以切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x＋1－xeq\o\al(2,0)，由题意知此直线与曲线y＝－2x2－1相切.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x0x＋1－x\o\al(2,0),y＝－2x2－1))，得2x2＋2x0x＋2－xeq\o\a