高中数学人教A版2第二章推理与证明 第二章合情推理

第二章推理与证明合情推理与演绎推理2.1.1合情推理A级基础巩固一、选择题1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x的值为()A．27B．28C．32D．33解析：观察知，5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，所以x－20＝12，得x＝32.答案：C2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.故选C.答案：C3．设n是自然数，则eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零 B．不一定是偶数C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝eq\f(1,8)(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．答案：C4．在平面直角坐标系内，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 \f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．ax＋by＋cz＝1解析：从方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.答案：A5．已知对正数a和b，有下列命题：①若a＋b＝1，则eq\r(ab)≤eq\f(1,2)；②若a＋b＝3，则eq\r(ab)≤eq\f(3,2)；③若a＋b＝6，则eq\r(ab)≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a＋b＝9，则eq\r(ab)≤()A．2\f(9,2)C．4D．5解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，eq\f(6,2)，所以若a＋b＝9，则eq\r(ab)≤eq\f(9,2).答案：B二、填空题6．已知a1＝1，an＋1＞an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，计算a2，a3，猜想an＝________．解析：计算得a2＝4，a3＝9，所以猜想an＝n2.答案：n27．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为_____________________________________________________．解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．答案：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为eq\f(8\r(3),9)R3.8．(2023·陕西卷)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是______________．解析：三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2三、解答题9．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n条直线最多有多少个交点．解：设直线条数为n，最多交点个数为f(n)，则f(2)＝1，f(3)＝3＝1＋2，f(4)＝6＝1＋2＋3，f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＝5，…由此可以归纳出，n条直线交点个数最多为f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(n（n－1）,2).10．设f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分别求出f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝eq\f(\r(3),3).下面证明：f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(1,3x2＋\r(3))＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(1,31－x1＋\r(3))＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(3x1,3＋\r(3)×3x1)＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(3x1,\r(3)（\r(3)＋3x1）)＝eq\f(\r(3)＋3x1,\r(3)（\r(3)＋3x1）)＝eq\f(\r(3),3).B级能力提升1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是()图①图②图③图④A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1解析：观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．答案：B2．观察：(1)tan100tan200＋tan200tan600＋tan600tan100＝1；(2)tan50tan100＋tan100tan750＋tan750tan50＝1.由以上两式成立，推广得到的一般结论是_________________________________________________________________________.解析：由已知两个式子可知，三个角之和为90°，且这三个角都不是90°，由此可得一般结论．答案：若α、β、γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.3．通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；……(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．解：因为24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n＋1)4－n4＝4×n3