高中数学人教A版第一章解三角形 单元质量评估(一)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°,在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°,若A,B的距离是20m,则塔高为()A.24m B.20mC.12m D【解析】选B.设塔高CD=xm,则AD=xm,DB=3xm.在△ABD中,∠ADB=150°,根据余弦定理得,(207)2=x2+(3x)2-23x2cos150°,解得x=±20(负值舍去),故塔高为20m.2.(2023·鞍山高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,b=3,A=45°,则角B大小为()° ° °或120° °或75°【解析】选C.由正弦定理可得:2sin45°=3由此可得sinB=323.在△ABC中,若a=5,c=13,sinA=513A.652 B.30 【解析】选B.由正弦定理可求得sinC=1,所以三角形为直角三角形,其中c为斜边,所以b=c2-a4.(2023·杭州高二检测)在△ABC中,若lga-lgc=lgsinB=-lg2且B∈0,A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】选D.因为lga-lgc=lgsinB=lg(2)-1,所以ac=又因为b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+2a2-2a·2a·22=a2所以△ABC为等腰直角三角形.5.已知△ABC中,AB=1,BC=2,则角C的取值范围是()<C≤π6 <C<C.π6<C<π2 D.π【解析】选A.因为ABsinC=BCsinA,所以所以sinC=12所以0<sinC≤12因为AB<BC,所以C<A,所以C为锐角,所以0<C≤π6【一题多解】选A.如图所示,以B为圆心,以1为半径画圆,则圆上除了直线BC上的点外,都可作为A点.从点C向圆B作切线,设切点为A1和A2,当A与A1或A2重合时,角C最大,易知此时:BC=2,AB=1,AC⊥AB,所以C=π6,所以0<C≤π6.在△ABC中,AB=2,AC=3,AB→·A.3 B.7 2 D.23【解析】选A.因为AB→·AC→=|AB→||=|AB→||所以cosA=56BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=9+4-2×2×3×56=3,所以BC=37.(2023·黄冈高二检测)设a,b,c为△ABC的三边长,若c2=a2+b2,且3sinA+cosA=2,则角B的大小为()A.π12 B.π6 C.π4 【解析】选=a2+b2⇒C=π23sinA+cosA=2⇒sinA+π6=22⇒A+所以角B=π-π2-π4-8.(2023·济宁高二检测)在△ABC中,若sinA·sinB<cosAcosB,则△ABC一定为()A.等边三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】选D.由sinA·sinB<cosAcosB得cosAcosB-sinA·sinB>0,即cos(A+B)>0,由于A,B,C为三角形内角,所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC>0,cosC<0,故C为钝角,△ABC一定为钝角三角形.9.(2023·重庆高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=22,则C=π43+2 B.3+1 3 3【解析】选B.由正弦定理bsinB=csinC⇒sinB=bsinCc=12,又a>b,且B∈(0,π),所以B=π6,所以A=7π12,所以三角形的面积为S=12bcsinA=12×2×22sin10.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,若sinB-sinAsinC=A.π4 B.3π4 C.π3【解析】选B.由正弦定理得:sinB-sinAsinC=2a+ca+b⇒b-ac=2a+ca+b⇒c2+a2-b2=-11.(2023·益阳高二检测)在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是()=10,A=45°,C=70° =20,c=48,B=60°=7,b=5,A=98° =14,b=16,A=45°【解析】选.由A=45°,C=70°,得到B=65°,又b=10,根据正弦定理asinA==csinC得:a,c只有一解;B.由a=20,c=48,B=60°,根据余弦定理得:b2=a2+c2-2ac·cosB=400+2304-960=1744,所以b2则cosC<0,得到C为钝角,故c为最大边,本选项只有一解;C.由a=7,b=5,A=98°,根据正弦定理asinA=bsinB得,sinB=5sin98°7,由A=98°为钝角,即最大角,得到B只能为锐角,故本选项只有一解;D.由a=14,b=16,A=45°,根据正弦定理asinA=b12.在△ABC中,A=π6,AB=33,ACA.19 B.21 7【解析】选A.在△ABC中,利用余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=27+9-27=9,即BC=3,又D在边BC上,且CD=2DB,故BD=1,CD=2,在△ABD中,利用余弦定理得cos∠ADB=AD2+B在△ADC中,利用余弦定理得cos∠ADC=AD2+D又cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以AD2+1-272AD+二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2023·济南高二检测)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为________千米.【解析】由题意知∠C=45°,由正弦定理得ACsin60°=所以AC=222·32答案:614.(2023·杭州高二检测)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若a2=b2+c2-bc,cb=12+3,则tanB=【解析】因为a2=b2+c2-bc,所以cosA=b2+cB+C=2π3,C=cb=sinCsinB==12+32·1tanB=12+答案:115.(2023·郑州高二检测)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=________.【解析】记∠CEB=α,则∠CED=π4由勾股定理有CE=BC2+B所以sinα=15=55,cosα=25由两角差的正弦公式有sin∠CED=sinπ=22(cosα-sinα)=22×55答案:1016.(2023·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围为________.【解析】如图所示,延长BA,CD交于点E,可知在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°.设AD=12则AE=22x,DE=6设CD=m,由BC=2,得6+得6+24x+m=6而AB=6+24x+m-2=6+2-22所以AB的取值范围是(6-2,6+2).答案:(6-2,6+2)三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2023·山东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosB=33,sin(A+B)=69,ac=2【解题指南】先判断A+B,再将其看作一个整体,利用两角和与差的三角公式,结合正弦定理求解.【解析】在△ABC中,cosB=33,则sinB=6因为sin(A+B)=69<6cos(A+B)=-53所以sinA=sin(A+B-B)=sin(A+B)cosB-cos(A+B)sinB=69×33--539×63=因为sinC=sin(A+B)=69,sinA=223由正弦定理asinA=c得ac=sinAsinCc2=22369c18.(12分)某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?【解析】如图,设汽车前进20千米后到达B处.在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理的推论得,cosC=AC2+B则sin2C=1-cos2C=4323所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=353MC=ACsin∠MACsin∠AMC=313从而有MB=MC-BC=15.所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.19.(12分)(2023·重庆高二检测)在△ABC中,内角A,B,C满足23sinAsinB=5sinC且cosB=1114(1)求角A的大小.(2)若内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=14,求边BC上的中线AD的长.【解析】(1)在△ABC中,因为cosB=1114所以sinB=53代入23sinAsinB=5sinC,化简可得3sinA=7sinC.因为A+B+C=π,所以sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB,化简得tanA=-3.因为0<A<π,所以A=2π(2)因为A=2π3,所以sinA=32在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=得c=6,b=10,在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cosB=36+49-2×6×7×1114所以AD=19.20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3(1)求角C的大小.(2)若sinA=45,求△ABC的面积【解析】(1)因为△ABC中,a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3所以1+cos2A2-1+cos2B2=32即cos2A-cos2B=3sin2A-3sin2B,即-2sin(A+B)sin(A-B)=23·cos(A+B)sin(A-B).因为a≠b,所以A≠B,sin(A-B)≠0,所以tan(A+B)=-3,所以A+B=2π3,所以C=(2)因为sinA=45<32,C=所以A<π3,或A>2π3所以cosA=1-sin2由正弦定理可得,asinA=c即a45=332,所以sinB=sin[(A+B)-A]=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=32×35--12×所以△ABC的面积为12·ac·sinB=12×85×3×421.(12分)(2023·潍坊高二检测)如图,在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且cosB=108,cos∠ADC=-1(1)求sin∠BAD的值.(2)求AC边的长.【解析】(1)因为cosB=108所以sinB=36又cos∠ADC=-14所以sin∠ADC=154所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=154×108--14×(2)在△ABD中,由ADsinB得:3368故DC=2,从而在△ADC中,由AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=32+22-2×3×2×-1得AC=4.22.(12分)(2023·成都高二检测)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对边的边长,且C=π3(1)若λ=3时,证明:△ABC为直角三角形.(2)若AC→·BC→=【解题指南】(1)当λ=3时,根据正弦定理及两角和与差的正弦公式确定相应角的值,从而确定△ABC的形状.(2)由AC→·BC→=