正弦电流电路

正弦电流电路6．1正弦电流正弦量的一般表示(以正弦电流为例)：振幅或幅值Im初相ψi角频率ωyi=

0

O

wti

yi<

0

O

wti

yi>

0

O

wti

6．1正弦电流一、幅值Im

幅值：最大值或振幅周期量有效值：正弦量有效值：一般：正弦量的量值（大小）指有效值交流仪表读数、电气设备额定值为有效值电气设备耐压值为最大值（方均根）

瞬时值i有效值I

6．1正弦电流二、角频率ω，频率f，周期T（快慢）

T：sf：Hz（或1/s）ω：rad/s工频：f=50Hz

线性电路中，若激励为同频率的正弦量，电路稳态响应也为同频率正弦量

6．1正弦电流三、初相，相位（进程）相位：表示变化进程，与t有关初相：t=0时相位，与t无关相位差φ：同频率正弦量φ>0:u超前i(i滞后u)φ<0:u滞后i(i超前u)φ=0：u、i同相φ=：u、i反相φ=：u、i正交参考正弦量：便于分析，选取某正弦量为参考，设其初相为0

（一般：）（一般：）6．1正弦电流例题：示波器显示三个工频正弦电压的波形如图所示，已知图中纵坐标每格表示5V。试写出各电压的瞬时表达式。取u1为参考正弦量，即图中u2

比u1

越前60o

u3比u1滞后30o,于是得解：6．2正弦量的相量表示

集中参数电路受两类约束:

元件约束：关联,R：u=Ri

L：u=Ldi/dtC：i=Cdu/dt

结构约束：∑i=0∑u=0分析正弦电流电路求解建立电路方程(微积分方程)得时域响应（正弦量）分析直流电路求解建立电路方程(代数方程)得直流解（常量）容易求解不易求解思考：能否采用适当方法避免三角函数的加、减、微分、积分运算？答案：用复数表示正弦量，用复数运算代替正弦量运算，可简化运算6．2正弦量的相量表示一、复数的表示方法1、直角坐标式：A=a+jb

2、极坐标式：或

---------

复平面上的点

--------复平面上的有向线段

其中：

6．2正弦量的相量表示二、正弦量的相量表示1．相量欧拉公式：正弦量：相量：-------最大值相量

-------有效值相量

相量的实质就是复数6．2正弦量的相量表示2．相量图：将相量用复平面上有向线段表示相量式：相量图：相量图6．2正弦量的相量表示3．正弦量与相量的关系：一一对应解析关系：几何表示：正弦量瞬时值=旋转相量在实轴投影6．2正弦量的相量表示例题：分别写出代表正弦量的相量解：切忌写成：6．2正弦量的相量表示例题：已知电压相量

写出各电压相量对应的正弦量（设角频率为ω）解：6．2正弦量的相量表示三、正弦量运算与相量运算的对应关系1．惟一性：同频正弦量，2．线性：同频正弦量，3．微分规则：

（k1、k2为实数）

则

正弦量对时间求导运算变换为用jω乘以对应相量的运算多个同频率的正弦量相加运算变换为相量（即复数）相加2个同频率的正弦量相等，则对应相量也相等，反之亦然若6．2正弦量的相量表示例题：设电感的磁链为正弦量它所引起的感应电压也是同频率的正弦量写出电压相量和磁链相量的关系。解：当u、i为关联参考方向，

i和ψ的参考方向符合右螺旋定则时或6．3基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律时域形式：KCL：KVL：基尔霍夫定律相量形式：KCL：或集中参数正弦电路，流出（或流入）任一节点电流相量代数和为零。

KVL：或

集中参数正弦电路中，沿任一回路的电压相量代数和为零。正弦量→相量正弦量运算→相量运算时域方程→相量方程那么，列方程的依据：结构约束、元件约束的相量形式是什么呢？6．3基尔霍夫定律的相量形式例题：V，V求节点2与3之间的电压，并画出电压相量图。

解：6．4RLC元件端口特性方程的相量形式一、电阻时域模型相量模型相量图波形图时域方程：相量方程：

或

且大小关系相位关系6．4RLC元件端口特性方程的相量形式二、电感时域模型相量模型相量图波形图时域方程：相量方程：

或

且

大小关系相位关系感抗：6．4RLC元件端口特性方程的相量形式三、电容时域模型相量模型相量图波形图时域方程：相量方程：

或

且

大小关系相位关系

容抗：6．4RLC元件端口特性方程的相量形式综上，由于用相量表示正弦量，用假象的模型即相量模型表示元件，用复数表示元件参数，则对应元件的端口特性方程均为代数方程RLC元件端口特性方程的相量形式或R:L:C:欧姆定律的相量形式：6．5RLC串联电路的阻抗研究RLC串联电路电压和电流的相量关系及电路性质时域模型

相量模型

等效阻抗

相量方程：

等效阻抗：：

阻抗模阻抗角电阻电抗阻抗感抗容抗6．5RLC串联电路的阻抗RLC串联电路等效阻抗：阻抗模：阻抗角：

φ>0:u超前于i，呈感性φ<0:u滞后于i，呈容性φ=0:u与i同相，呈阻性欧姆定律的相量形式：

或6．5RLC串联电路的阻抗相量图串联电路中由于各元件流过同一电流，所以宜选择电流相量为参考相量（对应时域中的参考正弦量）R、L、C串联电路电压相量图组成直角三角形相量图相量模型

仿照矢量求和（感性电路）6．5RLC串联电路的阻抗例题：一个电阻R=15、电感L=12mH的线圈与C=5μF的电容器相串联，接在电压V的电源上，=5000rad/s。试求电流i、电容器端电压uC和线圈端电压uW

。=15+j20解：A6．6GCL并联电路的导纳研究RLC并联电路电压和电流的相量关系及电路性质时域模型

相量模型

等效导纳

相量方程：

等效导纳：：导纳模导纳角电导电纳导纳感纳容纳6．6GCL并联电路的导纳导纳模：导纳角：GCL并联电路等效导纳：>0:i超前于u，呈容性

<0:i滞后于u，呈感性

=0:u与i同相，呈阻性欧姆定律的相量形式：

阻抗与导纳的等效变换：

或6．6GCL并联电路的导纳相量图并联电路中由于各元件承受同一电压，所以宜选择电压相量为参考相量（对应时域中的参考正弦量）相量图相量模型

（容性电路）6．6GCL并联电路的导纳正弦电路的等效电路随频率的不同而改变例题：有一GCL并联电路，其中G=2mS,L=1H,

C=1uF。试在频率为50Hz和400Hz两种情况下求其串联等效电路的参数。解：等效阻抗：

并联等效导纳：

50Hz：

Z≈(164+j235)Ω400Hz：

Z≈(236-j250)Ω6．7正弦电流电路的相量分析法得时域响应表达式××建立微积分方程(时域分析过程)线性正弦电流电路相量变换相量电路模型相量解相量反变换相量方程（复系数代数方程）线性直流电路分析方法相量形式解复系数线性代数方程6．7正弦电流电路的相量分析法例题：判断对错（掌握阻抗的串、并联，分流、分压）

U=16V（）I=8A（）I=8A（）U=36V（）√×××解1：设电流为参考相量，

各元件电压电流取关联

相量图法6．7正弦电流电路的相量分析法例题6.9：已知各元件的阻抗模相等，交流电流表A1读数为3A，求A2和A3读数解1：取电压为参考相量作相量图，

I1=IR=IL=IC=I3=3A，I2=IR=3AA2和A3读数为和3A解2：取电压为参考相量，则：(相量图法)6．7正弦电流电路的相量分析法相量分析法的一般步骤:③②①时域电路相量电路求解相量电路,得到相量解答将相量解变换成时域解①②③6．7正弦电流电路的相量分析法例6.10：图中，，，，求电流。解：将时域电路变换为相量电路（等效变换法）6．7正弦电流电路的相量分析法例题6.11：已知电路中，，w=100rad/s。试用支路电流法求电流i1。解：节点KCL方程回路KVL方程l1l2i1i41uS+-

11iS0.01H0.01Fi2i321mmmmmm6．7正弦电流电路的相量分析法例题：列写回路电流方程解：回路电流方程的相量形式6．7正弦电流电路的相量分析法例题6.13：图示电路中

g=1S，，w=1rad/s。列写节点电压方程解：

列写节点电压方程：自导纳互导纳+-uS1F1Hu2+-1FiS1WgU2126．7正弦电流电路的相量分析法例题：列写图示电路的改进节点电压方程分析：理想变压器是二端口元件，其端口电压、电流不服从欧姆定律，所以不能用自导纳和互导纳表示其参数。这时应采用改进节点电压法，即增加端口电流、为变量。

由于除了节点电压变量外，又增加了电流变量、因此称之为改进节点法。类似含纯电压源电路。

联立求解6．7正弦电流电路的相量分析法例题：已知当C=0.05F时，求当

C=0.25F时，iC=？（定理法）解：构造戴维南等效电路（1）先求等效阻抗（2）再求开路电压相量（3）求响应当C=0.05F时6．8含互感元件的正弦电流电路一、互感元件的相量模型：时域模型相量模型

端口特性方程时域频域6．8含互感元件的正弦电流电路二、计算方法：1、列方程法（宜用：支路电流法、回路电流法）例题：列出示电路的方程解：用支路电流法列方程法互感消去法消去、得

(5)6．8含互感元件的正弦电流电路2、互感消去法互感串联、并联、T形连接无联接点时的传输和变换作用一次侧等效阻抗：

从原边看，相当于无独立源交流一端口网络，可用阻抗来等效。6．8含互感元件的正弦电流电路例题：求图(a)电路的戴维南等效电路。解：（1）先求开路电压（2）再求戴维南等效阻抗（3）等效戴维南电路如图独立源置零6．9正弦电流电路的功率本节研究问题：正弦一端口电路的功率一、瞬时功率正弦电流一端口：关联，吸收的瞬时功率：①

②反映一端口吸收或者发出电能平均值等于零。反映一端口与外部电路交换能量。正弦电路瞬时功率实用价值不大，更关心功率的平均效果6．9正弦电流电路的功率二、平均功率平均功率：功率因数：功率因数角：正弦电路中，同相位电压和电流产生的平均功率等于其有效值之积；相位正交的电压和电流不产生平均功率。元件功率：

单位：W、mW……6．9正弦电流电路的功率三、无功功率为了反映一端口与外电路之间的能量互换情况，引入无功功率的概念设感性一端口，吸收平均功率为：电流无功分量电流有功分量无功功率：

有功功率：单位：乏（Var)相量图6．9正弦电流电路的功率四、视在功率

视在功率的定义有功功率无功功率表示电气设备容量，单位伏安（VA）P、Q、S三者的关系可通过功率三角形描述功率三角形

6．9正弦电流电路的功率五、功率因数的提高：目的：

1、提高电气设备的利用率。在视在功率一定时，功率因数越大，有功功率越大例如：容量（额定视在功率）为1000kVA的变压器，如果所接负载的功率因数为1，则其可传输的平均功率为1000kW；当负载功率因数为时，变压器只能传输500kW的平均功率。

2、通过减少线路电流来减小线路损耗。当发电机的电压和输出功率一定时，功率因数越大，端电流越小，线路的功率损耗越小。6．9正弦电流电路的功率五、功率因数的提高：方法：感性负载并联电容相量图分析：LR-+分析结果：---无功补偿法6．9正弦电流电路的功率例题：在工频条件下测得某线圈的端口电压、电流和功率分别为100V、5A和300W。求此线圈的功率因数、等效电阻和等效电感。解：LR-+6．9正弦电流电路的功率例题：感性负载Z接于220V、50Hz正弦电源上，负载的平均功率和功率因数分别为2200W和。求并联电容前电源电流、无功功率和视在功率。并联电容，将功率因数提高到，求电容大小、并联后电源电流、无功功率和视在功率。解：（1）φ́（2）6．10复功率复功率：人为构造出的复数，方便用相量法直接计算P、Q、S，它不代表正弦量和相量对阻抗：

（X>0:感性无功X<0:容性无功）

复功率等于电压相量与电流相量共轭的乘积单位：VA

6．10复功率2、复功率守恒：各支路“吸收”（或“发出”）的复功率代数和为零则：

平均功率守恒：（各电源发出的平均功率之和等于各负载吸收的平均功率之和）无功功率守恒：（各电源“发出”无功功率代数和等于各负载“吸收”无功功率代数和）6．10复功率例题6.19：