高中数学人教A版第三章不等式 章末整合提升

第三章章末整合提升基础巩固一、选择题1．(2023·四川理，1)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝eq\x(导学号54742890)(A)A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}[分析]考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A，再按并集的意义求解．[解析]A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}，选A．2．已知a＋b>0，ab<0，那么下列不等式一定成立的是eq\x(导学号54742891)(D)A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2<b2C．|a|>|b| D．eq\f(b,a)<1[解析]∵a＋b>0，ab<0，∴a与b一正一负，且正数的绝对值较大，由于a与b哪一个为正不能确定，故A，B，C都错．而eq\f(b,a)<0<1，故选D．3．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是eq\x(导学号54742892)(D)A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－1，或x≥\f(9,2)))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤\f(9,2)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(9,2)或x≥1))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(9,2)≤x≤1))[解析]解法1：取x＝1检验，满足排除A；取x＝4检验，不满足排除B，C；∴选D．解法2：化为：2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，∴－eq\f(9,2)≤x≤1，选D．4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是eq\x(导学号54742893)(D)A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2][解析]∵2x＋2y≥2eq\r(2x＋y)，∴2eq\r(2x＋y)≤1，∴2x＋y≤eq\f(1,4)＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D．5．x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为eq\x(导学号54742894)(D)A．eq\f(1,2)或－1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1[解析]如图，z＝y－ax的最大值的最优解不唯一，即直线y＝ax＋z与直线2x－y＋2＝0或x＋y－2＝0重合，∴a＝2或－1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的基本解法．6．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是eq\x(导学号54742895)(C)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．[0,4) D．(0,4)[解析]k＝0时满足排除A、D；k＝4时，不等为4x2－4x＋1>0，即(2x－1)2>0，显然当x＝eq\f(1,2)时不成立．排除B，选C．二、填空题7．设x，y满足4x＋y＝20，且x>0，y>0，则log5x＋log5y的最大值为\x(导学号54742896)[解析]∵x>0，y>0，∴20＝4x＋y≥2eq\r(4x·y)＝4eq\r(xy).∴xy≤25.等号成立时，4x＝y.∴x＝eq\f(5,2)，y＝10.∴log5x＋log5y＝log5(xy)≤log525＝2.8．已知：a、b、x、y都是正实数，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系是ab≥\x(导学号54742897)[解析]ab＝ab·(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≥4，等号在a＝2，b＝2时成立，xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝4，等号在x＝y＝2时成立，∴ab≥xy.三、解答题9．(1)设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)；eq\x(导学号54742898)(2)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．[分析](1)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，各边长均为正数．再结合轮换对称关系设法构造三个不等式相加．(2)由ab＝a＋b＋3出发，求ab的范围，关键是寻找ab与a＋b之间的联系，由此联想到基本不等式a＋b≥2eq\r(ab).[解析](1)∵a、b、c是△ABC的三边，不妨设a≥b≥c>0则a>b－c≥0，b>a－c≥0，c>a－b≥0.平方得：a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab三式相加得：0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab∴2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2(2)令eq\r(ab)＝t(t>0)．∵a，b均为正数，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，∴t2≥2t＋3，解得t≥3或t≤－1(舍去)，∴eq\r(ab)≥3，故ab≥9，∴ab的取值范围是[9，＋∞)．10．m为何值时，关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根：eq\x(导学号54742899)(1)都大于1；(2)一根大于2，一根小于2.[解析]设方程的两根分别为x1、x2.(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＋x2>2,x1－1x2－1>0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－12－32m－7≥0,\f(m－1,8)>2,\f(m－7,8)－\f(m－1,8)＋1>0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤9或m≥25,m>17,m∈R))，∴m≥25.(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,x1－2x2－2<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－12－32m－7>0,\f(m－7,8)－\f(2m－1,8)＋4<0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<9或m>25,m>27))，∴m>27.能力提升一、选择题11．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是eq\x(导学号54742900)(C)A．ab<b2<1 B．logeq\f(1,2)b<logeq\f(1,2)a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab[解析]取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)验证可知选C．12．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式eq\f(ax＋b,x－2)>0的解集是eq\x(导学号54742901)(B)A．(－1,2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)[解析]∵不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)．∴a>0且eq\f(b,a)＝1.∴不等式eq\f(ax＋b,x－2)>0化为eq\f(x＋1,x－2)>0，解之得x<－1或x>2，故选B．13．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0,x－y≥0,2x－y－2≥0))，则ω＝eq\f(y－1,x＋1)的取值范围是eq\x(导学号54742902)(D)A．[－1，eq\f(1,3)] B．[－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)]C．[－eq\f(1,2)，＋∞) D．[－eq\f(1,2)，1)[解析]作出可行域如图所示，由于ω＝eq\f(y－1,x＋1)可理解为经过点P(－1,1)与点(x，y)的直线的斜率，而kPA＝eq\f(0－1,1－－1)＝－eq\f(1,2)，另一直线斜率趋向1，因此ω的取值范围为[－eq\f(1,2)，1)．二、填空题14．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是\x(导学号54742903)[解析]设每次购买该种货物x吨，则需要购买eq\f(200,x)次，则一年的总运费为eq\f(200,x)×2＝eq\f(400,x)，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为eq\f(400,x)＋x≥2eq\r(\f(400,x)·x)＝40，当且仅当eq\f(400,x)＝x，即x＝20时等号成立．故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．15．若eq\f(m2x－1,mx＋1)＜0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，－eq\f(1,2)).eq\x(导学号54742904)[解析]依题意，对任意的x∈[4，＋∞)，有f(x)＝(mx＋1)(m2x－1)＜0恒成立，结合图象分析可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,－\f(1,m)＜4,\f(1,m2)＜4))，由此解得m＜－eq\f(1,2)，即实数m的取值范围是(－∞，－eq\f(1,2))．三、解答题16．已知a∈R，试比较eq\f(1,1－a)与1＋a的大小.eq\x(导学号54742905)[解析]eq\f(1,1－a)－(1＋a)＝eq\f(a2,1－a).①当a＝0时，eq\f(a2,1－a)＝0，∴eq\f(1,1－a)＝1＋a.②当a＜1且a≠0时，eq\f(a2,1－a)＞0，∴eq\f(1,1－a)＞1＋a.③当a＞1时，eq\f(a2,1－a)＜0，∴eq\f(1,1－a)＜1＋a.综上所述，当a＝0时，eq\f(1,1－a)＝1＋a；当a＜1且a≠0时，eq\f(1,1－a)＞1＋a；当a＞1时，eq\f(1,1－a)＜1＋a.17．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n).eq\x(导学号54742906)(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<eq\f(1,a)，比较f(x)与m的大小．[解析](1)由题意知