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文档简介
1.导数应用(二)1.会解决生活中的优化问题.2.会利用导数解决某些实际问题.eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1.优化问题.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.2.利用导数求优化问题的步骤.(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小.最大(小)者为最大(小)值.想一想:(1)求函数最值的常用方法有哪些?(2)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为________.(1)解析:可以利用函数的单调性;可以利用基本不等式;可以利用导数.(2)解析:设圆锥的高为xcm,则底面半径为eq\r(202-x2)cm,其体积V=eq\f(1,3)πx(202-x2)(0<x<20).V′=eq\f(1,3)π(400-3x2),令V′=0,解得x1=eq\f(20,3)eq\r(3),x2=-eq\f(20,3)eq\r(3)(舍去).当0<x<eq\f(20,3)eq\r(3)时,V′>0;当eq\f(20,3)eq\r(3)<x<20时,V′<0,所以当x=eq\f(20,3)eq\r(3)时,V取最大值.答案:eq\f(20\r(3),3)cmeq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1.在抛物线y=x2上依次取两点,它们的横坐标分别为x1=1,x2=3,若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行,则点P的坐标为(2,4).2.将正数a分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成eq\f(a,2)和eq\f(a,2).3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)的关系为y=-x2+12x-25,则每辆客车营运________年可使其营运年平均利润最大(C)A.2B.4C.5D.6eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1.圆的面积S关于半径r的函数是S=πr2,那么在r=3时面积的变化率是(D)A.6B.9C.9πD.6π解析:因为S′=2πr,所以S′(3)=2π×3=6π.2.把长度为8的线段分成四段,围成一个矩形,矩形面积的最大值为(B)A.2B.4C.8D.以上都不对3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=eq\f(1,3)x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A.8\f(20,3)C.-1D.-8解析:原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.故选C.4.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________.解析:设甲地销售x辆,则乙地销售(15-x)辆.总利润L=-+2(15-x)=-++30(x≥0).令L′=-+=0,得x=.∴当x=10时,L有最大值.答案:万元eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5.有一边长分别为8与5的长方形,各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,则小盒的最大容积是(B)A.20B.18C.16D.14解析:正方形边长为x,则V=(8-2x)·(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2))).V′=4(3x2-13x+10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2))).V′=0得x=1,根据实际情况,小盒容积最大值是存在的,∴当x=1时,容积V取得最大值18.6.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20,要使其体积最大,则高为(D)\f(\r(3),3)\f(10\r(3),3)\f(16\r(3),3)\f(20\r(3),3)7.有长为16m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地面积最大值为__________.解析:设矩形长为xm,则宽为(8-x)m,矩形面积S=x(8-x)(0<x<8),令S′=8-2x=0得x=4.所以Smax=16(m2).答案:16m28.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,%)),则使银行获得最大收益的存款利率为________.解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是,所以银行的收益是y=-kx3(0<x<,故y′=-3kx2.令y′=0,解得x=或x=0(舍去).当0<x<时,y′>0;当<x<时,y′<0.因此,当x=时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率为%时,银行可获得最大收益.答案:%9.如下图所示,用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形,其面积为100,为使所用材料最省,矩形底宽应为多少?解析:设圆的半径为r,矩形的宽为b,铁丝长为l,则100=eq\f(πr2,2)+2br,∴b=eq\f(100-\f(πr2,2),2r).∴l=πr+2r+2b=πr+2r+eq\f(100,r)-eq\f(πr,2).∴l′=π+2-eq\f(100,r2)-eq\f(π,2).令l′=0,得π+2-eq\f(100,r2)-eq\f(π,2)=0,∴100=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2+\f(π,2)))r2.解得r=10eq\r(\f(2,4+π)).则底宽为20eq\r(\f(2,4+π))时用料最省.10.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤3).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x百万元,可增加的销售额约为-eq\f(1,3)x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.(收益=销售额-投入)解析:(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t),则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3),∴当t=2时,f(t)取得最大值4,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元),又设由此获得的收益是g(x)(百万元),则g(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x3+x2+3x))+[
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