高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 全国一等奖

1．导数应用(二)1．会解决生活中的优化问题．2．会利用导数解决某些实际问题．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．优化问题．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数求优化问题的步骤．(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．想一想：(1)求函数最值的常用方法有哪些？(2)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________．(1)解析：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利用导数．(2)解析：设圆锥的高为xcm，则底面半径为eq\r(202－x2)cm，其体积V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0<x<20)．V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝eq\f(20,3)eq\r(3)，x2＝－eq\f(20,3)eq\r(3)(舍去)．当0<x<eq\f(20,3)eq\r(3)时，V′>0；当eq\f(20,3)eq\r(3)<x<20时，V′<0，所以当x＝eq\f(20,3)eq\r(3)时，V取最大值．答案：eq\f(20\r(3),3)cmeq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．在抛物线y＝x2上依次取两点，它们的横坐标分别为x1＝1，x2＝3，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则点P的坐标为(2，4)．2．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成eq\f(a,2)和eq\f(a,2)．3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)的关系为y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年可使其营运年平均利润最大(C)A．2B．4C．5D．6eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是(D)A．6B．9C．9πD．6π解析：因为S′＝2πr，所以S′(3)＝2π×3＝6π.2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为(B)A．2B．4C．8D．以上都不对3．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A．8\f(20,3)C．－1D．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.故选C.4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝－＋2(15－x)＝－＋＋30(x≥0)．令L′＝－＋＝0，得x＝.∴当x＝10时，L有最大值.答案：万元eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是(B)A．20B．18C．16D．14解析：正方形边长为x，则V＝(8－2x)·(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2))).V′＝4(3x2－13x＋10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2))).V′＝0得x＝1，根据实际情况，小盒容积最大值是存在的，∴当x＝1时，容积V取得最大值18.6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则高为(D)\f(\r(3),3)\f(10\r(3),3)\f(16\r(3),3)\f(20\r(3),3)7．有长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地面积最大值为__________．解析：设矩形长为xm，则宽为(8－x)m，矩形面积S＝x(8－x)(0＜x＜8)，令S′＝8－2x＝0得x＝4.所以Smax＝16(m2)．答案：16m28．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是，所以银行的收益是y＝－kx3(0＜x＜，故y′＝－3kx2.令y′＝0，解得x＝或x＝0(舍去)．当0＜x＜时，y′＞0；当＜x＜时，y′＜0.因此，当x＝时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为%时，银行可获得最大收益．答案：%9．如下图所示，用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为100,为使所用材料最省，矩形底宽应为多少？解析：设圆的半径为r，矩形的宽为b,铁丝长为l，则100＝eq\f(πr2,2)＋2br，∴b＝eq\f(100－\f(πr2,2),2r).∴l＝πr＋2r＋2b＝πr＋2r＋eq\f(100,r)－eq\f(πr,2).∴l′＝π＋2－eq\f(100,r2)－eq\f(π,2).令l′＝0，得π＋2－eq\f(100,r2)－eq\f(π,2)＝0，∴100＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r2.解得r＝10eq\r(\f(2,4＋π)).则底宽为20eq\r(\f(2,4＋π))时用料最省．10．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[