高中数学苏教版第一章解三角形 同课异构

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2023·镇江高二检测)在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于________．【解析】由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×3×8×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3).【答案】6eq\r(3)2．有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________m.【解析】如图，在△ABC中，由正弦定理可知：eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin30°)，∴x＝10eq\r(2)(m)．【答案】10eq\r(2)3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得这两条船的俯角分别为45°和60°，而且这两条船与炮台底部连线成30°角，则这两条船相距________m.【导学号：91730016】【解析】设炮台顶为A，底为D，两船分别为B，C，由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30m，∴DB＝30m，DC＝10eq\r(3)m，在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝300，∴BC＝10eq\r(3)m，即这两条船相距10eq\r(3)m.【答案】10eq\r(3)4．(2023·南京高二检测)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，如图1­3­11所示，且B＋D＝180°，则AC的长为________km.图1­3­11【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cosD，由cosD＝－cosB，并消去AC2得cosB＝eq\f(1,2)，所以AC＝7.【答案】75.如图1­3­12所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．图1­3­12【解析】由题意知，AC＝eq\r(3)BC，∠ABC＝120°，由正弦定理知，eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴∠CAD＝60°－30°＝30°.【答案】30°6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦为________．【解析】如图，由平行四边形法则可知，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝G，∴2F2(1＋cosθ)＝G2，∴cosθ＝eq\f(G2－2F2,2F2).【答案】eq\f(G2－2F2,2F2)7．如图1­3­13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于________m.图1­3­13【解析】由题意可知，AC＝eq\f(60,sin30°)＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,∠BAC)，于是BC＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(240\r(2),\r(2)＋\r(6))＝120(eq\r(3)－1)(m)．【答案】120(eq\r(3)－1)8.如图1­3­14，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，则BD的长为________．图1­3­14【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)二、解答题9．如图1­3­15所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5km/h,3小时后两人相距多远(精确到0.1km)?图1­3­15【解】经过3小时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝×3＝(km)，依余弦定理，知PQ＝eq\r(122＋－2×12×80°)≈(km)．10．如图1­3­16，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝eq\f(4\r(3),7)，求BC边上的高AD.图1­3­16【解】在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得eq\f(7x,sinC)＝eq\f(8x,sinB)，∴sinC＝eq\f(7,8)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABC中，AD＝ABsinB＝eq\f(4\r(3),7)AB，∴AD＝12eq\r(3)或AD＝20eq\r(3).能力提升]1.如图1­3­17，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.图1­3­17【解析】连结OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)＝17500，∴OC＝50eq\r(7).【答案】50eq\r(7)2．如图1­3­18所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________m.图1­3­18【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(m)．【答案】10eq\r(6)3．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时.【导学号：91730017】【解析】设行驶xh后甲到点C，乙到点D，两船相距ykm，则∠DBC＝180°－60°＝120°.∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,14)))2－eq\f(25,7)＋100，∴当x＝eq\f(5,14)时，y2有最小值，即两船相距最近．【答案】eq\f(5,14)4．如图1­3­19，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB＝eq\f(\r(10),8)，cos∠ADC＝－eq\f(1,4).图1­3­19(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC边的长．【解】(1)因为cosB＝eq\f(\r(10),8)，所以sinB＝eq\f(3\r(6),8).又cos∠ADC＝－eq\f(1,4)，所以sin∠ADC＝eq\f(\r(15),4).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(\r(15),4)×eq\f(\r(10),8)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\f(3\r(6),8)＝eq\f(\r(6),4).(2)在△ABD中