高中数学人教A版第二章数列 全国获奖

2023—2023学年度第二学期NCS0407测试高一数学注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分.2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列的前几项为，则此数列的通项可能是（）A． B． C． D．2．若函数是奇函数，则可取一个值为（）A． B． C． D．3．（）A． B． C． D．4．已知的边上有一点满足，则可表示为（）A． B． C． D．5．已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，（）A． B． C． D．6．在△中，角，，的对边分别为，，，且满足，则△的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．设向量，，若向量与向量垂直，则（）A.B.C.D.8．在中，角所对的边分别为，，，则的面积为（）A.B.C.D.9．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日穿（第一天挖）一尺，小鼠也日穿一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）.问何日（第几天）两鼠相逢（）A.B.C.D.10．已知△中，满足，的三角形有两解，则边长的取值范围是（）A.B.C.D.11．已知为内一点，满足，则与面积之比为（）A.B.C.D.12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．若,则.14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．已知数列等差数列，其，，则.16．已知函数（）的部分图像如图所示,与轴交于、两点，与轴交于点，其一条对称轴与轴交于点，且，．则.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知等差数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.18．(本小题满分12分)已知渡船在静水中速度的大小为,河水流速的大小为.如图渡船船头方向与水流方向成夹角,且河面垂直宽度为.（Ⅰ）求渡船的实际速度与水流速度的夹角；（Ⅱ）求渡船过河所需要的时间.[提示：]19．(本小题满分12分)设的三内角、、的对边分别是、、，且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积.

20．(本小题满分12分)已知，，函数.（Ⅰ）求函数零点；（Ⅱ）若的三内角、、的对边分别是、、，且,求的取值范围.21．(本小题满分12分)已知平行四边形中,，,对角线交于点，上一点满足，为上任意一点.（Ⅰ）求值；（Ⅱ）若，求的最小值.22．(本小题满分12分)已知是数列的前项和，且满足，等差数列的前项和为,且，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）若数列的通项公式为，问是否存在互不相等的正整数，，使得，，成等差数列，且，，成等比数列？若存在，求出，，；若不存在，说明理由.

2023—2023学年度第二学期NCS0407测试高一数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案ABACDACACCDC二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．;14.;15.;16.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由可得：，即，所以，解得……3分……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：.……8分……10分另解:并项.……10分18.【解析】方法一:(向量坐标法)以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系由条件,,知，……3分由，即所以……5分所以，即所以渡船的实际速度与水流速度的夹角;……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知船垂直方向速度为所以渡船过河所需要的时间.……12分方法二:(正、余弦定理)（Ⅰ）如图所示，，设渡船的合速度，则由条件,,根据向量的平行四边形法则有：,,在中,由余弦定理得……5分在中,由正弦定理得,得所以渡船的实际速度与水流速度的夹角;……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知船所走过路程为所以渡船过河所需要的时间.……12分19.【解析】（Ⅰ）因为，由正弦定理得，∴，……3分∴由余弦定理得，∴在中，.……6分（Ⅱ）方法一：因为，且，∴∴，∴，在中，又在中，由正弦定理得，∴∴的面积……12分方法二：因为，由正弦定理得而，，由余弦定理得，∴∴，即，∴的面积……12分

20.【解析】（Ⅰ）由条件可知:……3分∴……4分所以函数零点满足,得,．……6分（Ⅱ）由正弦定理得由（Ⅰ），而，得∴，又，得……8分∵代入上式化简得：……10分又在中，有，，则有即：……12分21.【解析】（Ⅰ）由平行四边形知，∴，∵……3分∴……5分而，，，∴……6分（Ⅱ）方法一：若，∴∴，，设，由（Ⅰ），得，即……9分再设，，∴……11分显然，当时，有最小值为．……12分方法二（坐标法）：若，∴∴，，又，如图建立平面直角坐标系：则,,，，设,得又设，，，得，由（Ⅰ），得……9分∴……11分显然，当时，有最小值为．……12分22.【解析】（Ⅰ）由令可知，当时，有，两式相减得，∴，∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列，∴。……4分设等差数列的公差为，依题意得，，解得，∴……6分（Ⅱ）由（1）可知，假设存在互不相等的正整数