高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何单元测试

第三章一、选择题1．空间任意四个点A、B、C、D，则eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于eq\x(导学号33780691)()\o(DB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BA,\s\up6(→))[答案]D[解析]解法一：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).解法二：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).2．已知空间向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))，则下列结论正确的是eq\x(导学号33780692)()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))[答案]B[解析]根据向量加减法运算可得B正确．3．设M是△ABC的重心，记a＝eq\o(BC,\s\up6(→))，b＝eq\o(CA,\s\up6(→))，c＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))为eq\x(导学号33780693)()\f(b－c,2) B．eq\f(c－b,2)\f(b－c,3) D．eq\f(c－b,3)[答案]D[解析]M为△ABC重心，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(c－b)．4．如图所示，已知A、B、C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))的为eq\x(导学号33780694)()\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))[答案]C[解析]根据A、B、C、P四点共面的条件可知eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).由图知x＝3，y＝－2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故选C.5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，则eq\x(导学号33780695)()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)[答案]D[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以x＝1，y＝eq\f(1,4).6．如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于eq\x(导学号33780696)()\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c[答案]B[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.二、填空题7．化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝\x(导学号33780697)[答案]0[解析]解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.解法二：(利用向量的减法运算法则求解)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.8．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝\x(导学号33780698)[答案]eq\f(7,6)[解析]如图所示，有eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq\o(C1C,\s\up6(→)).又∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,2y＝1,3z＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝\f(1,2),z＝－\f(1,3))).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).三、解答题9.在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，底面ABCD为矩形，化简下列各式.eq\x(导学号33780699)(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(D′A′,\s\up6(→))＋eq\o(D′D,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→)).[解析](1)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)原式＝eq\o(CC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).10．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AE︰EC′＝1︰2，点F、G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x、y、z的值.eq\x(导学号33780700)(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)∵AE︰EC′＝1︰2，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F为B′D′的中点，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|等于eq\x(导学号33780701)()A．0 B．3C．2＋eq\r(2) D．2eq\r(2)[答案]D[解析]利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).2．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是eq\x(导学号33780702)()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同．③真命题．向量的相等满足递推规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错．⑤假命题．零向量的方向是任意的．3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝eq\f(1,2)EF，则eq\o(AF,\s\up6(→))等于eq\x(导学号33780703)()\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))[答案]D[解析]由条件AF＝eq\f(1,2)EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′E,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)AA′＋eq\f(1,6)(eq\o(A′D′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→)).4．对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x、y、z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的eq\x(导学号33780704)()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝x(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＋y(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，即eq\o(CP,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))、eq\o(CB,\s\up6(→))共面，又有公共点C，∴P、A、B、C共面，反之也成立．二、填空题5．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：eq\x(导学号33780705)①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))；③eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).正确的是________．[答案]①②③[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，①正确；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，②正确；③显然正确；∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，∴④不正确．6．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM︰MC＝2︰1，N为PD中点，则满足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x＝________，y＝________，z＝\x(导学号33780706)[答案]－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)eq\f(1,6)[解析]在PD上取一点F，使PF︰FD＝2︰1，连接MF，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).三、解答题7．已知三个向量a、b、c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p、q、r是否共面？eq\x(导学号33780707[解析]假设存在实数λ、μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，∵a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－7μ＝1,－3λ＋18μ＝1,－5λ＋22μ＝－1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co