高中数学高考一轮复习一轮复习 基本不等式

课时作业(四)基本不等式一、单项选择题1．“a>b>0”是“ab<eq\f(a2＋b2,2)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[由a>b>0，可知a2＋b2>2ab，充分性成立；由ab<eq\f(a2＋b2,2)，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不成立．]2．(2023·平顶山模拟)若M＝eq\f(a2＋4,a)(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为()A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]C．[4，＋∞) D．[－4，4]A[M＝eq\f(a2＋4,a)＝a＋eq\f(4,a)，当a>0时，M≥4；当a<0时，M≤－4.]3．若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4C[因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a>0，b>0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2eq\r(2).]4．若m>0，n>0，m＋2n＝1，则eq\f(1,m)＋eq\f(m＋1,n)的最小值为()A．4B．5C．7D．6C[由m，n>0，m＋2n＝1，得m＝1－2n，所以eq\f(1,m)＋eq\f(m＋1,n)＝eq\f(1,m)＋eq\f(（1－2n）＋1,n)＝eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)－2，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋2n)＝5＋eq\f(2n,m)＋eq\f(2m,n)≥5＋2·eq\r(\f(2n,m)·\f(2m,n))＝9，当且仅当m＝n＝eq\f(1,3)时等号成立，所以eq\f(1,m)＋eq\f(m＋1,n)＝eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)－2≥9－2＝7.故选C.]5．(2023·河北廊坊联考)已知a，b∈(0，＋∞)，且1＋eq\f(2,ab)＝eq\f(9,a＋b)，则a＋b的取值范围是()A．[1，9]B．[1，8]C．[8，＋∞)D．[9，＋∞)B[∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≥ab，可得eq\f(1,ab)≥eq\f(4,（a＋b）2)，当且仅当a＝b时取等号．∵1＋eq\f(2,ab)＝eq\f(9,a＋b)，∴eq\f(9,a＋b)－1＝eq\f(2,ab)≥eq\f(8,（a＋b）2)，化为(a＋b)2－9(a＋b)＋8≤0，解得1≤a＋b≤8，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)或a＝b＝4时取等号，∴a＋b的取值范围是[1，8].故选B.]6．(2023·广州期末)若实数x，y满足xy＋6x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2,3)))，则eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)的最小值为()A．4B．8C．16D．32B[实数x，y满足xy＋6x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2,3)))，∴x＝eq\f(4,y＋6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))，y>0，则eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)＝y＋6＋eq\f(1,y)≥2＋6＝8，当且仅当y＝1，x＝eq\f(4,7)时取等号．∴eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)的最小值为8.]7.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A．eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C．eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D．eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)D[由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝eq\f(a＋b,2)，又OC＝OB－BC＝eq\f(a＋b,2)－b＝eq\f(a－b,2)，则FC2＝OC2＋OF2＝eq\f(（a－b）2,4)＋eq\f(（a＋b）2,4)＝eq\f(a2＋b2,2)，再根据题图知FO≤FC，即eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时取等号．故选D.]8．(2023·广东珠海高三期末)已知x>0，y>0，z>0，且eq\f(9,y＋z)＋eq\f(1,x)＝1，则x＋y＋z的最小值为()A．8 B．9C．12 D．16D[∵y>0，z>0，∴y＋z>0，又eq\f(9,y＋z)＋eq\f(1,x)＝1，x>0，∴x＋y＋z＝[x＋(y＋z)](eq\f(1,x)＋eq\f(9,y＋z))＝10＋eq\f(9x,y＋z)＋eq\f(y＋z,x)≥10＋2eq\r(\f(9x,y＋z)·\f(y＋z,x))＝16，当且仅当eq\f(9x,y＋z)＝eq\f(y＋z,x)，即y＋z＝3x时等号成立，∴x＋y＋z的最小值为16.故选D.]二、多项选择题9．下列选项错误的是()A．两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的B．函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2C．函数f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值为4D．x>0且y>0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充要条件ABCD[对于选项A，不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是a>0，b>0；对于选项B，函数y＝x＋eq\f(1,x)的值域是(－∞，2]∪[2，＋∞)，没有最小值；对于选项C，函数f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)没有最小值；对于选项D，x>0且y>0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充分不必要条件．]10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是()A．ab有最大值eq\f(1,4) B．eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4 D．a2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)AC[因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以ab≤eq\f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号，所以ab有最大值eq\f(1,4)，所以选项A正确；eq\r(a)＋eq\r(b)≤2eq\r(\f(a＋b,2))＝eq\r(2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)取等号，所以eq\r(a)＋eq\r(b)的最小值是eq\r(2)，所以B错误；因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4，所以C正确；因为a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号，所以a2＋b2的最小值不是eq\f(\r(2),2)，所以D错误．故选AC.]11．(2023·山东卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥eq\f(1,2) B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2 D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)ABD[对于A项，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥eq\f(1,2)，正确；对于B项，易知0<a<1，0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝eq\f(1,2)，正确；对于C项，令a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，则log2eq\f(1,4)＋log2eq\f(3,4)＝－2＋log2eq\f(3,4)<－2，错误；对于D项，因为eq\r(2)＝eq\r(2（a＋b）)，所以[eq\r(2（a＋b）)]2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，所以eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，正确，故选ABD项．]12．(开放型)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是()A．(1，4) B．(6，8)C．(7，12) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))AC[设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝eq\f(1,2)l，S＝xy.对于A，(1，4)，则x＋y＝2，xy＝1，根据基本不等式得xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，符合题意；对于B，(6，8)，则x＋y＝4，xy＝6，根据基本不等式得xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，不符合题意；对于C，(7，12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式得xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，符合题意；对于D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，则x＋y＝eq\f(1,4)，xy＝3，根据基本不等式得xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，不符合题意．故选AC.]三、填空题13．不等式a＋1≥2eq\r(a)(a>0)中等号成立的条件是________．解析：因为a>0，根据基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋1≥2eq\r(a)中等号成立的条件是当且仅当a＝1.答案：a＝114．函数y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值为________．解析：因为y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2(x>－1)，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，当且仅当x＝0时等号成立．答案：015．(2023·河北“五个一名校联盟”模拟)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq\f(y,x)＝18－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，而x>0，故eq\f(y,x)≤18－2eq\r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机