高中数学人教A版第一章三角函数 学案答案版

2023学年高一2023学年高一数学学案总第（）期班级姓名组号命题人：王月英审题人：吴肖楠1.2.2同角三角函数的基本关系(一)1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．2．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值和计算．【学法指导】1．推导和牢记同角三角函数间的基本关系是进行三角函数式恒等变形的基础和前提．2．要注意公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝eq\f(sinα,cosα)的直接使用，公式逆用，公式变形用．利用平方关系sin2α＋cos2α＝1求值时，要注意符号的选择．3．已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能．在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边所在的象限，有时由于角的象限不确定，因此解的情况不止一种.1．任意角三角函数的定义2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：．3．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝；cos2α＝；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝；cosα＝.如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝eq\r(x2＋y2)>0.则sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___.探究点一利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数关系问题1利用任意角的三角函数的定义证明同角三角函数的平方关系和商数关系．答设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝eq\r(x2＋y2)>0，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).于是sin2α＋cos2α＝(eq\f(y,r))2＋(eq\f(x,r))2＝eq\f(y2＋x2,r2)＝1，eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(y,r),\f(x,r))＝eq\f(y,x)＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).问题2平方关系sin2α＋cos2α＝1与商数关系tanα＝eq\f(sinα,cosα)成立的条件是怎样的？答平方关系sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立；商数关系tanα＝eq\f(sinα,cosα)中α是使tanα有意义的值，即α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.探究点二已知一个角的三角函数值求其余两个三角函数值已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解．例如：已知sinα＝eq\f(3,5)，且α是第二象限角，则cosα＝_____，tanα＝_____.答∵eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ＝－eq\r(3).∴sinθ＝－eq\r(3)cosθ.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＋cos2θ＝1,sinθ＝－\r(3)cosθ)).∴4cos2θ＝1，cos2θ＝eq\f(1,4).当θ为第二象限角时，cosθ＝－eq\f(1,2)，sinθ＝eq\f(\r(3),2)；当θ为第四象限角时，cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝－eq\f(\r(3),2).类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论．例如：已知cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|<1，∴sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\r(1－m2).当α在第一、二象限时，sinα＝eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(\r(1－m2),m)；当α在第三、四象限时，sinα＝－eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(－\r(1－m2),m)；当α终边在y轴上时，sinα＝±1，tanα不存在．【典型例题】例1已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα.解∵cosα＝－eq\f(8,17)<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17).tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).小结同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．跟踪训练1已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα. ①又sin2α＋cos2α＝1， ②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).例2已知tanα＝2，求下列代数式的值．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(1,3)sinαcosα＋eq\f(1,2)cos2α.解(1)原式＝eq\f(4tanα－2,3tanα＋5)＝eq\f(6,11).(2)原式＝eq\f(\f(1,4)sin2α＋\f(1,3)sinαcosα＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(1,4)tan2α＋\f(1,3)tanα＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(1,4)×4＋\f(1,3)×2＋\f(1,2),5)＝eq\f(13,30).小结①关于sinα、cosα的齐次式，可以通过分子、分母同除以cosα或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值．②注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式．跟踪训练2已知tanα＝3，求下列各式的值．(1)eq\f(\r(3)cosα－sinα,\r(3)cosα＋sinα)；(2)2sin2α－3sinαcosα.解因为已知tanα＝3，所以逆用公式把弦函数化成切函数．(1)原式＝eq\f(\f(\r(3)cosα－sinα,cosα),\f(\r(3)cosα＋sinα,cosα))＝eq\f(\r(3)－tanα,\r(3)＋tanα)＝eq\f(\r(3)－3,\r(3)＋3)＝－2＋eq\r(3).(2)原式＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(2sin2α－3sinαcosα,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(2tan2α－3tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×32－3×3,32＋1)＝eq\f(9,10).例3已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，求：sinθ－cosθ；(2)sin3θ＋cos3θ.解(1)由sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)两边平方得，sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝eq\f(1,25)，∴2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25).又∵sinθcosθ<0，θ∈(0，π)，∴sinθ－cosθ＝eq\f(7,5).(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(12,25)))＝eq\f(37,125).小结对于这类利用已知α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解．其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，分析出解决问题的突破口．跟踪训练3已知sinαcosα＝eq\f(1,4)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值．解由sinαcosα＝eq\f(1,4)得(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，∴cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(2),2).1．α是第四象限角，cosα＝eq\f(12,13)，则sinα等于 ()A．eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13) C．eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析∵α是第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).2．若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则tanα＝________.解析∵cosα＝－eq\f(3,5)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(4,3).3．若tanθ＝－2，则sinθcosθ＝________.解析sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝－eq\f(2,5).4．已知sinα＝eq\f(1,5)，求cosα，tanα.解∵sinα＝eq\f(1,5)>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(1,25))＝eq\f(2\r(6),5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(6),12)；当α为第二象限角时，cosα＝－eq\f(2\r(6),5)，tanα＝－eq\f(\r(6),12).1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，