高中数学人教A版第二章平面向量 专题强化训练(三)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题强化训练(三)平面向量(30分钟50分)一、选择题(每小题3分，共18分)1.下列说法中正确的是()OA→OB→=AB→ ·AB→=0 D.AB→+B【解析】选错误.OA→-OB→=BA→；B错误.AB→+BA→=0；C错误.0·2.设a，b都是单位向量，且a与b的夹角为60°，则|a+b|=() B.3 D.2【解析】选B.|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×1×cos60°+1=3，所以|a+b|=33.(2023·荆州高一检测)如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF→A.12AB→+1212AB→+12【解析】选D.在△CEF中，有EF→=EC→+CF→，因为E为DC的中点，所以EC→=12DC→.因为点F为BC的中点，所以CF→=12CB→.所以EF→4.已知向量|a|=10，|b|=12，且a·b=-60，则向量a与b的夹角为()° ° ° °【解析】选B.由a·b=|a||b|·cos<a，b>=-60得cos<a，b>=-12，故<a，b5.(2023·三亚高一检测)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是()A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数【解析】选A.函数f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b因为a⊥b，所以a·b=0，所以f(x)=(b2-a2)x.因为|a|≠|b|，所以b2-a2≠0，所以f(x)为一次函数且是奇函数.6.(2023·延边高一检测)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若OC→=xOA→<x+y<1 +y>1+y<-1 <x+y<0【解题指南】利用A，B，D三点共线及与O，C，D三点共线建立关系，确定x+y的取值范围.【解析】选C.由于A，B，D三点共线，设AD→=αAB→，则OD→=OA→+AD→=OA→+αAB→=OA→+α(OB→-OA→)=(1-α)OA→+α二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2023·成都高一检测)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC→=αOA【解析】因为A(3，1)，B(-1，3)，所以OA→=(3，1)，所以OC→=αO=α(3，1)+β(-1，3)=(3α-β，α+3β)设点C的坐标为(x，y)，则OC于是3α-β=x,α+3β=y,又α+β=1，所以3x+y10+整理得x+2y-5=0，所以点C的轨迹方程为x+2y-5=0.其轨迹是一条直线.答案：直线8.向量e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为________.【解题指南】求向量的夹角，想到运用夹角公式cosθ=QUOTEa·b|a||b|求解.【解析】a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6e12+4e1·e2-3e1·e2+2e22=-6+e1·e2+2=-4+|e1||e2|cos60°=-72|a|=|2e1+e2|=QUOTE(2e1+e=5+4cos60°=7|b|=|-3e1+2e2|=QUOTE(-3e1+2=QUOTE9e12+4e=13-12cos60°=7.设a与b的夹角为θ，则cosθ=QUOTEa·b|a||b|=-727×所以向量a与b的夹角为120°.答案：120°【易错警示】本题易犯的三点错误：(1)求a=2e1+e2或b=-3e1+2e2的模时，错认为|a|=22+12或|b|=(-3)2+22(2)求点乘e1·e2时极易漏掉cosθ，应为e1·e2=|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角).(3)若应用三角形法则或平行四边形法则求向量模时极易找错向量间的夹角.注意找两向量夹角时两向量必须有共同起点.9.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D，E为BC边上的点，且AD→·BC→=0，CE→=2【解析】因为AD→·BC→=0，所以AD→⊥BC→，即AD⊥BC，又AB=AC，所以CB→=AB→-AC所以AE→=AC→+23则AD→·AE→=12(AB→+A=16(2AB2→+3AB=16(2×22+3×2×2×cos120°+22答案：1【补偿训练】如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA=OB=1，AB→=4AC→，则OC【解析】由已知得|AB→|=2，|AC→|=24，则OC→·(OB→-OA→)=(OA→+AC→)·AB→=O答案：-1三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2023·武汉高一检测)已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数.求：(1)若a+2b与a-4b垂直，求tanθ.(2)若θ=π6，求|xa-b|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量a与xa-b【解析】(1)由题意，得(a+2b)·(a-4b)=0，即a2-2a·b-8b2得32-2×3×1×cosθ-8×12=0，得cosθ=16又θ∈(0，π)，所以sinθ=1-cos2θ=tanθ=sinθcosθ=(2)|xa-b|=QUOTEx(a-b)2=9=9x-故当x=36时，|xa-b|取得最小值为1此时a·(xa-b)=xa2-a·b=36×9-3×1×cosπ6=0，故向量a与xa-【补偿训练】(2023·淮北高一检测)已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，0<α<β<π.(1)求|a|的值.(2)求证：a+b与a-b互相垂直.【解析】(1)因为a=(cosα，sinα)，所以|a|=co(2)因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0，所以a+b与a-b互相垂直.11.(2023·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=22,-22，(1)若m⊥n，求tanx的值.(2)若m与n的夹角为π3【解题指南】(1)利用向量垂直转化为向量的数量积为0.(2)利用向量的夹角公式求解.【解析】(1)因为m=22,-22，n=sinx,cosx所以m·