高中数学高考一轮复习一轮复习 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时作业(五十五)分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、单项选择题1．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是()A．10B．15C．20D．25D[根据题决，当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，即抽取的两个数为一奇一偶时，其和为奇数；从而不同情形有5×5＝25(种)；故选D.]2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长，1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()A．20 B．16C．10 D．6B[当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．]3．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚线的个数是()A．30 B．42C．36 D．35C[因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36(个)虚数．故选C.]4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10C[分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．故选C.]5．设集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈(A∩B)，y∈(A∪B)}，则A*B中元素的个数是()A．7 B．10C．25 D．52B[因为集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以x有2种取法，y有5种取法，根据分步乘法计数原理得2×5＝10.]6．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9 B．14C．15 D．21B[因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}．所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共7种情况；当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共7种情况．故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.]7．设A，B是两个非空集合，定义A*B＝{(a，b)|a∈A，b∈B}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3，4}，则P*Q中元素的个数是()A．4B．7C．12D．16C[P*Q中元素的确定，分两步，P中元素有3种选法，即a有3种选法，Q中元素即b有4种选法，所以P*Q中元素的个数是3×4＝12，故选D.]8．(2023·北京市朝阳区模拟)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有()A．288种 B．144种C．576种 D．96种C[依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种).]二、多项选择题9．下列结论正确的有()A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事C．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的D．在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事BC10．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8}中任意三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的公比可以是()A．2B．eq\f(1,2)C．3D．eq\f(1,3)AB[当公比为2时，等比数列可为1，2，4或2，4，8，同理公比可以为eq\f(1,2)，其他任意三个不能组成等比数列，故选AB.]11．“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“——”，其中“——”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，其变化原理与“逢二进一”的法则相通．若从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为()A．0B．1C．2D．3ABCD[根据题意，从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类．第一类：由两个“——”组成，二进制数为11，转化为十进制数，为3.第二类：由两个“——”组成，二进制数为00，转化为十进制数为0.第三类：由一个“——”和一个“——”组成，二进制数为10，01，转化为十进制数，为2，1，所以从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为0，1，2，3，故选A、B、C、D.]12．将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子的放法共有()A．Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种 B．Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种C．Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种 D．18种BC[根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：(1)分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种放法；则没有空盒的放法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种；(2)分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种放法．则没有空盒的放法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种．由此可知，A、D错误，故选B、C.]三、填空题13．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有________种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有________种不同的选法．解析：要买一件上衣或一条裤子，分类15＋18＝33；要买上衣，裤子各一件，分步15×18＝270.答案：33；27014．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答).解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法；第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种).答案：3615.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓，若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．解析：根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3，4，5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60(种)方法，故答案是60.答案：6016.(2023·广东佛山月考)如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至