高中数学人教A版第一章三角函数 正弦函数余弦函数的性质学案2

2023学年高一年级数学2023学年高一年级数学导学案（40）班级姓名学号编写：赵海通审阅：侯国会§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）2．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．学习重点：y＝sinx，y＝cosx的单调性与最值。学习难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间【学法指导】1．在研究正弦、余弦函数的性质时，要充分借助正弦、余弦曲线，注意数形结合思想方法的运用．2．正弦函数和余弦函数在定义域上都不是单调函数．研究正弦函数的变化趋势时首先选取eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3,2)π))这一周期区间，然后推而广之；研究余弦函数的变化趋势时首先选取[－π，π]这一周期区间，然后根据周期推广到整个定义域．3．研究形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调性时，注意A、ω的符号对函数单调性的影响以及整体换元思想方法的应用.一．知识导学正弦函数、余弦函数的性质：函数y＝sinxy＝cosx图象定义域值域对称性对称轴：；对称中心:对轴称：；对称中心:奇偶性周期性最小正周期：最小正周期：单调性在______________________上单调递增；在_______________________上单调递减在___________________上单调递增；在上单调递减最值在_________________时，ymax＝1；在________________时，ymin＝－1在_______________时，ymax＝1；在__________________时，ymin＝－1二．探究与发现【探究点一】正、余弦函数的定义域、值域正弦曲线：余弦曲线：由正、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是．对于正弦函数y＝sinx，x∈R有：当且仅当x＝时，取得最大值1；当且仅当x＝时，取得最小值－1.对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：当且仅当x＝时，取得最大值1；当且仅当x＝时，取得最小值－1.【探究点二】正、余弦函数的单调性正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域．(1)函数y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的图象如图所示：观察图象可知：当x∈__________时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；当x∈__________时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得：当x∈___________________________时，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈___________________________时，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.(2)函数y＝cosx，x∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知：当x∈__________时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈__________时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得：当x∈___________________________时，正弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈___________________________时，正弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.【探究点三】函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A>0)的单调性确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)单调区间的方法是：当ω>0时，把ωx＋φ看成一个整体，视为X。若把ωx＋φ代入到y＝sinX的单调增区间，则得到2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，从中解出x的取值区间就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的增区间．若把ωx＋φ代入到y＝sinX的单调减区间，则得到2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，从中解出x的取值区间就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的减区间．当ω<0时，先利用诱导公式把x的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间类似可求．请同学们根据上面介绍的方法，写出求函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,3)))单调递增区间的求法．例1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))；(2)sin196°与cos156°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))与coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)).小结用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪训练1。比较下列各组数的大小．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π))与sineq\f(49,3)π；(2)cos870°与sin980°.例2．求函数y＝1＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))，x∈[－4π，4π]的单调减区间．小结确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx＋φ视为一个整体．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．跟踪训练2。求函数y＝(cos2x)的单调递增区间．例3．求函数y＝sin2x－sinx＋1，x∈R的值域．小结形如f(x)＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g(t)＝at2＋bt＋c在闭区间[－1,1]上的最值问题．要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当x∈R时，－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1对值域的影响．跟踪训练3。求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．三．巩固训练1．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一个递减区间是 ()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B.[－π，0]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)π，\f(2,3)π)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))2．下列不等式中成立的是 ()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))B．sin3>sin2C．sineq\f(7,5)π>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)π))D．sin2>cos1四．小结1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)