高中数学北师大版1第四章导数应用第4章2

第四章§2一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是()A．f(1)f(2) B．f(2)f(5)C．f(1)f(5) D．f(5)f(2)解析：f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝2x－4＝0，∴x＝2.f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6，∴最大值f(5)，最小值f(2)．答案：D2．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝2eq\r(3)，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3解析：设底面中心为O，令高为h，则AO＝eq\r(12－h2).AB＝eq\r(2)AO＝eq\r(2)·eq\r(12－h2).体积V＝eq\f(1,3)×2×h(12－h2)＝－eq\f(2,3)h3＋8h.V′＝－2h2＋8，令V′＞0得0＜h＜2，V′＜0得h＞2，当0＜h＜2时，函数递增，h＞2时，函数递减．当h＝2时，V取极大值，也是最大值．答案：C3．函数y＝eq\f(lnx,x)的最大值为()A．e－1 B．eC．e2 D．eq\f(10,3)解析：令y′＝eq\f(lnx′x－lnx·x′,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)＝0，得x＝e.当x>e时，y′<0；当0＜x＜e时，y′>0，y极大值＝f(e)＝eq\f(1,e)，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝eq\f(1,e).答案：A4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析：因y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，当0<x≤9时，y′≥0，f(x)为增函数，当x>9时，y′<0，f(x)为减函数，∴当x＝9时，y有最大值．故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝xex的最小值为________．解析：y′＝(x＋1)ex＝0，x＝－1.当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.∴ymin＝f(－1)＝－eq\f(1,e).答案：－eq\f(1,e)6．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝eq\f(m,2)，由题设得eq\f(m,2)∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解析：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)eq\f(28,3)－eq\f(4,3)从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为eq\f(28,3)，而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－eq\f(4,3).(2)f(－3)＝eq\f(1,3)×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝eq\f(1,3)×43－4×4＋4＝eq\f(28,3)，与极值点的函数比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是eq\f(28,3)，最小值是－eq\f(4,3).8．已知f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)＜m恒成立，求实数m的取值范围．解析：∵f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，∴f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，∴x＝1或x＝－eq\f(2,3).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，∴当x＝－eq\f(2,3)时，f(x)取得极大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝5＋eq\f(22,27)；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝eq\f(7,2).又f(－1)＝eq\f(11,2)，f(2)＝7，∴f(x)在x∈[－1,2]上的最大值为f(2)＝7.∴要使f(x)＜m恒成立，需f(x)max＜m，即m＞7.∴所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元．距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y值最小？解析：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\s\up4(\f(1,2))＝eq\f(m,2x2)(xeq\s\up7(\f(3,2))－512)．令f′(x)＝0，得xeq\s\up7(\f(3,2))＝512，所以x＝64.当0＜x＜64时，